导数在函数中的应用.doc

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1、DDY整理定理设在上连续，在内可导，（1）在内，，则在上单调增；（2） 在内，，则在上单调减。对函数，如何求出的单调增减区间呢？               从图中可看出，应先找出单调增减区间的分界点，哪些点可能成为分界点呢？20DDY整理如果在可导且是单调增减的分界点，则，所以，使的点可能是单调增减分界点；定义使的点称为的驻点。另外，不可导的点也可能成为分界点，如：在处不可导，但时，单调减，时，单调增。所以，可能的单调增减分界点有：驻点和不可导的点。求的单调增减区间的方法：（1）确定的定义域；图5-5  （2）找出的驻点和不可导的点，用这些点将定义区间分成若干

2、个小区间；（3）在每个小区间上用的符号判定。例1求的单调区间。解：定义域20DDY整理     驻点：（没有不可导的点）列表－所以，在和内单调增，在内单调减。例2讨论函数的单调性。解：定义域 驻点：，不可导的点：列表－例3利用单调性证明：时，有20DDY整理 证：设       当时，在内单调增，又     既时，有    例4证明：方程只有一个正根。证明：设因，又在 [0，1] 上连续，由零点存在定理， 在（0，1）内至少有一点，使，即是方程的一个正根。20DDY整理因时，，单调增，所以，时，只有一个零点，即方程只有一个正根。   定义设在的邻域内有定义，对邻

3、域内任意异于的点（1）如果有，则称为的一个极大值，为极大值点；（2）如果有，则称为的一个极小值，为极小值点。极大值、极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为极值点。定理（极值存在的必要条件）设在可导且在取得极值，则。20DDY整理如何求函数的极值，首先要找出可能取得极值的点，由上面定理知，驻点是可能取得极值的点，另外，不可导的点也是可能取得极值的点，如：在处。      所以，可能取得极值的点为：驻点和不可导的点。对于上述点还要做出判断，是否取得极值，如：在处，，但不是极值。下面给出极值存在的充分条件。        20DDY整理定理（极值存在的充分条件）设

4、在的邻域内连续且可导（点可除外）（1）如果时，，而时，，则为极大值；（2）如果时，，而时，，则为极小值；（3）时与时，不变号，则不是极值。极值的求法：（1）求出的驻点和不可导的点；（2）逐点用充分条件判定；（3）求出极值。例1求的单调区间。解：定义域     驻点：（没有不可导的点）列表20DDY整理－所以，在和内单调增，在内单调减。例2讨论函数的单调性。解：定义域 驻点：，不可导的点：列表－例5求函数的单调增减区间和极值。解 定义域20DDY整理驻点：不可导的点：列表讨论 －－ 在区间内单调增，在区间和内单调减，为极小值，为极大值。我们也可用二阶导来判断在取得

5、极大值还是极小值。定理设在点二阶可导，且，则（1）时，为极小值；（2）时，为极大值。注：如果在不可导或且，则是否为极值要用前一种方法判定。例6求的极值。解  令 得驻点20DDY整理为极小值。最大、最小值的求法 在区间上的最大、最小值的求法：（1）找出在区间内的所有驻点和不可导的点，（2）求出所有驻点和不可导的点以及区间端点的函数值进行比较，找出最大、最小值。注：如果在区间上单调增，则最小，最大；如果在区间上单调减，则最大，最小。     如果在区间的内部只有一个极大值而没有极小值，则这个极大值就是最大值；同样，如果在区间的内部只有一个极小值而没有极大值，则这个

6、极小值就是最小值。应用问题中一般属于这种情况。例1求在指定区间上的最大、最小值（1）在上；20DDY整理（2）在上。解：（1）区间内的驻点：，（没有不可导的点）所以最大值是最小值是。（2）当时所以最大值是最小值是。例2欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法所用材料最省？解：设底边长为米，高为米，表面积为，则                              20DDY整理令得驻点，，时，函数有极小值且只有这一个极小值，  是最小值点，此时，所以，当底边长为 6 米，高为 3 米时，所用材料最省。例3铁路线上段的距离为 100km

7、，工厂距处为 20km，（见图），为了运输需要，要在线上选定一点向工厂修筑一条公路。已知铁路每公里货运的运费与公路上每公里运费之比为。为了使货物从运到工厂的运费最省，问点应选在何处？                  解设（km），则，，设总运费为，铁路每公里运费为公路每公里运费为，则有20DDY整理，令，得唯一驻点 ，所以，（km）时，总运费有唯一极小值即最小值，此时，运费最省。曲线的凹向与拐点 前面，我们研究了函数的单调性与极值， 对于描绘函数的图形，这是很重要的，但只有这些是不够的，如图： 两条曲线均单调增，但曲线的弯曲状况不同，我们称为曲线的凹凸性。定义

8、：设在区间上连续，如果对