常见不等式的几何直观.doc

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1、常见不等式的几直观数学与统计学院2008级1212408087小丽研究不等式的出发点是实数的大小关系。我们知道，数轴上的点与实数一一对应，因此可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小：设a，b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A，B。那么，当点A在点B的左边时，ab（图1）。图1不等式的基础性质也可以通过作图来表示：用线段AB的长表示a，线段BA表示-a；线段CD表示b，线段DC表示-b。如：（1）如果a>b，b>c，那么a>c。画图2表示：绝对值

2、a

3、表示数a到原点的

4、距离。即若a>0,

5、a

6、=a；若a<0,

7、a

8、=-a；若a=0,

9、a

10、=0。对于任意的两个实数a,b,设它们在数轴上的对应点分别是A,B，那么

11、a-b

12、的几意义是数轴上A，B两点之间的距离。为了在直观上刻画绝对值，我们做函数y=x,y=-x,y=

13、x

14、,y=-

15、x

16、的图像。图3图3-1图3-2图3-3由图易得-

17、x

18、≤x≤

19、x

20、，于是对每个实数a，有-

21、a

22、≤a≤

23、a

24、。绝对值的几意义是我们认识绝对值不等式的重要工具。实际上，我们可把“距离大小”作为研究绝对值不等式的基本出发点，解决相应的问题。把

25、a

26、+

27、b

28、≥

29、

30、a+b

31、，等号成立当且仅当ab≥0中a,b用向量代替，可以很明显地看出其几意义。当向量不共线时，那么由向量加法的三角形法则，向量构成三角形，因此我们有向量形式的不等式，它的几意义就是三角形的两边之和大于第三边。所以我们称该不等式为绝对值三角不等式。如

32、x

33、≤1的解如图4：图4

34、x-1

35、≤2的解如图5：图5

36、x

37、+

38、y

39、≤1的解如图6：图6=

40、a

41、（

42、a

43、的代数刻划）实际上表达了毕达哥拉斯关系式c=，b=0时的特殊情形。的解——点（x,y）的集合（轨迹）构成以原点为圆心，r为半径的圆。故的解——点（x,y）的集合

44、（轨迹）构成以原点为圆心，r为半径的圆盘。图7图7图8定义：

45、x+yi

46、=,则1≤

47、x+yi

48、≤2的解表示以原点为圆心，半径为1和2构成的圆环：图8基本不等式：1.如果把实数a,b作为线段长度，那么它的几解释（a≥）：图9-1如图9-1所示：在正形ABCD中，AB=a,在正形CEFG中，EF=b。那么S正形ABCD+S正形CEFG=。矩形BCGH和矩形JCDI的长均为a,宽均为b，它们的面积和是S矩形BCGH+S矩形JCDI=2ab。矩形BCGH和矩形JCDI的公共部分是CEGK,边长为b,其面积与正形CEFG相

49、等。所以。当且仅当a=b时，两个矩形成为两个正形，阴影部分面积等于正形ABCD与正形CEFG的面积的和。图9-2如图9-2所示：,，≤+，即ab≤。我们进一步看到，当且仅当三角形，即D与B重合，因而当且仅当a=b时=+，即ab=。将恒等变形，就可以得到以下基本不等式：如果a,b>0,那么≥，当且仅当a=b时等号成立。其几意义是直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高。如图9：图10CD是Rt△ABC中斜边AB上的高，OC是斜边AB上的中线，AD=a,BD=b。OC=，CD=。推论：在所有长相同的矩形中，正形面积最大

50、；在所有面积相同的矩形中，正形长最短。推广13个正数的算术-几平均不等式：当且仅当a=b=c时等号成立。推广2n个正数的算术-几平均不等式:当且仅当非常自然地出现在光学和电网研究中的平均值是调和平均值.统计学有一个重要的均根。有这样的不等式关系：≥≥≥，其几解释如图10：图11-1如图10-1所示：设ABCD为一梯形，其中AB=a，CD=b，设O为其对角线的中点。（a）a与b的算术中项由平行于两底且与它们等距离的线段GH表示；（b）几中项由平行于两底且使梯形ABLK与KLDC成相似形的线段KL表示；（c）调和中项

51、由平行于两底且过O点的线段EF表示；（d）均根由平行于两底且将梯形ABCD分成面积相等的两个梯形的线段MN表示。如图11-2所示：O为圆心，MHb），则MO=，MG=，MH=，MR=Cauchy不等式：（a）二维形式：（）当且仅当时等号成立。其几意义如图11：图12Cosθ=又由（）。其中等号成立的条件是，即θ=0或。也就是说平行。坐标（），（）成比例。即时等号成立。推广13维柯西不等式当且仅当时等号成立。推广2n维柯西不等式当且仅当时等号成立。赫德尔不等式，>0，，

52、当p=2，q=2时即是柯西不等式。三角不等式：（二维形式）当且仅当=k；。其几解释如图13图13一维形式：，即

53、

54、+

55、

56、≥

57、

58、，当且仅当=k，这时三角形退化成一条直线。推广+≥此式对一切实数，都成立，当且仅当时等号成立。闵可夫斯基不等式任意非负数，，，及任意的p>1，有≥三角不等式是这里p=2特殊情形。推广n维闵可夫斯基不等式≥，其中p≥1，当p<1时，不等号要反过来。