定积分中的几何直观方法与不等式的证明

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1、定积分中的几何直观方法与不等式的证明摘要：一些高指数的不等式，如果借助算术—几何均值不等式或者通过分解因式再进行放缩的话，一般都要分与进行讨论证明，往往证明起来很麻烦，若借助数学分析中的定积分来进行证明的话，会大大简化其证明工序，也很简单，灵活的选取合适的初等函数进行定积分，再求和会得到意想不到的效果。关键词：高指数；不等式；算术—几何均值；定积分；数列1　引言文[1]中给出了一个不等式：　　　　　　　　（）　　　　（1）田寅生对（1）进行了指数推广，其结果是命题1【2】　设且，，，则有（2）文[2]的证明方法是借助于算术—几何均值不等式，分与进行讨论证明，读者不难看出，不仅过程繁琐，而且对其

2、证明思路难以把握。文[3]中利用微分中值定理给出了它的另一种证法。文[4]借助定积分的方法，给出了一种很自然的证明【4】：命题1的证明【4】当，时，对于，有，即，两边取积分，得　　　　　　　　　，　　　　　　（3）即得　　　（4）对（3）两边分别求和，即得　　　　　　　　　　　　（5）命题1得证。该证明方法简单自然，几何意义直观。不等式（3）的几何意义是：如图1，以为边的曲边梯形的面积介于两个矩形的面积之间，根据定积分的几何意义，即知上面不等式中三部分分别代表了它们的面积。（图1）在文[5]中，又把（1）式推广为：命题2【５】　已知为等差数列且，公差，则　（6）其证明方法与文[1]本质上是一样

3、的。本文将借鉴[4]中方法，即利用定积分的几何直观方法，把有关结果作进一步的推广。２　主要结果下面借鉴文[4]中定积分的的方法，把命题2推广为定理1设为等差数列且，公差，，，，则（7）为证明定理1，先证明下面的引理引理1　设为等差数列且，公差，，，，则（8）证明　因为数列是等差数列，且，所以该数列是一个单调递增的正数列，又因为，不妨令，则有即　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（9）对（9）两端在上取积分，有（10）即（11）由（11），即得定理1的证明　由引理1可得（12）对（12）式的两边同时求和，得即故有同理，由（13）对式（13）的两边同时求和，可得到故定理1得证。引理1的证

4、明中几何意义十分明显，参见下面的图2。（图2）如果注意到函数（）是下凸函数，利用关于下凸函数图像的下列两条几何性质：性质1　任意两点间的弧段总在这两点连线的上方；性质2　曲线总在它的任一切线的上方。那么可以对引理1中的不等式（8）进一步精细化，得到定理2　设为等差数列且，公差，，，，则（14）证明　因为（）是下凸函数，由上述两条性质，得　即得　　　　（15）对（15）两端在上积分，得（14）成立。定理2证明的几何意义，可参考下面图3。（图3）推论1　当，时，有该结果显然比（4）式更为精细。３　应用例子例1【１】试求的整数部分．解　由（1）式，得于是可以判断，故。例2【１】试求的值，式中．解　由

5、命题1，可得所以。例3设，求不超过的最大整数．解　对本问题，如果运用命题1或命题2将无法计算，我们运用定理1便会迎刃而解，（），令数列的通项公式为，，，由定理1，可得即所以。例4设，求的近似值（绝对误差不超过）．解　记数列是以为首项，公差的等差数列，那，这里，由定理1，得即由绝对误差不超过0.06，而14.512-14.454=0.058<0.06，故s可以取14.454到14.512任何一个数即可，不妨取s=14.49。4　其它应用在文[6]中，作者给出了二次根式的一个不等式：命题3【６】　设,则　　　　　　　　　　　　　　　　（16）当且仅当x=0或y=0时，（1）的等号成立。原证比较简短

6、，但我们更关心的是不等式（16）是如何得到的，换言之，这类不等式具有什么样的几何意义？考虑函数与，，则由，得即　　　　　　（17）由于不等式（16）与（17）等价，而不等式（17）具有鲜明的几何意义，它的左右两端分别代表两个曲边梯形的面积（如图4）（图4）事实上，许多重要不等式都具有类似的几何意义，如不等式（）　（18）就可以利用（19）来认识其几何意义。由此可知，通过对一些简单的不等式积分，可能获得另一个不是十分明显的不等式。下面例子选自《高等数学附册·学习辅导与习题选解》一书，我们将用利用定积分的几何直观方法进行新的证明，并改进其结果。命题4【7】　设，证明（20）文献[7]关于不等式（2

7、0）的证明思路是：而，故有，因此由此可知（20）式左侧的不等式成立，至于（20）式右侧的不等式，那是显然的。另证　因为（）是下凸函数，函数在点的切线方程为，根据下凸函数的几何性质，有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（21）　当，时，有，将（21）中的换成，得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（22）　再对（22）两端在上积分，立得结论成立。下面改进不等式（2