2010年全国各地高考数学压轴题解析

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1、10年全国各地高考压轴题1、（福建理）20.（本小题满分14分）（Ⅰ）已知函数f(x)=x3-x,其图像记为曲线C.（i）求函数f(x)的单调区间；（ii）证明：若对于任意非零实数x1,曲线C与其在点P1（x1,f(x1)））处的切线交于另一点P2（x2,f(x2)），曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3（x3,f(x3)），线段P1P2,P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则为定值；（Ⅱ）对于一般的三次函数g(x)=ax3+bx2+cx+d(a0),请给出类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题，并予以证明。20.本小题主要考查函数、导数、定积分等

2、基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想。满分14分。解法一：（Ⅰ）（i）有f(x)=x3-x得f’(x)=3x2-1=3(x-)(x+).当x(,)和(，)时，f’(x)>0;当x(，)时，f’(x)<0。（ⅱ）曲线C在点P1处的切线方程为y=(3x12-1)(x-x1)+x13-x1，即y=(3x12-1)x-2x13.由得x3-x=(3x12-1)x-2x13即（x-x1）2(x+2x1)=0,解得x=x1或x=-2x1,故x2=-2x1.进而有用x2代替x1,重复上述计算过程，

3、可得x3=-2x2和S2=。又x2=-2x10，所以S2=,因此有。（Ⅱ）记函数g(x)=ax3+bx2+cx+d（a0）的图像为曲线C’，类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题为：若对于任意不等于的实数x1,曲线C’与其在点P1（x1,g(x1)）处的切线交于另一点P2（x2,g(x2)）,曲线C’与其在点P2处的切线交于另一点P3（x3,g(x3)），线段P1P2、P2P3与曲线C’所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则为定值。证明如下：因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线y=g(x)的对称中心平移至解法二：（Ⅰ）同解法一。（Ⅱ）记函数g(x)=ax3+bx2

4、+cx+d(a0)的图像为曲线C’，类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题为：若对于任意不等于的实数x1,曲线C’与其在点P1（x1,g(x1)）处的切线交于另一点P2（x2,g(x2)）,曲线C’与其在点P2处的切线交于另一点P3（x3,g(x3)），线段P1P2、P2P3与曲线C’所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则为定值。证明如下：用x2代替x1，重复上述计算过程，可得x3=和。又x2=所以故2、（湖南理）21．（本小题满分13分）数列中，是函数的极小值点.（I）当a=0时，求通项（II）是否存在a，使数列是等比数列？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理

5、由.21．解：易知令（1）若则当单调递增；当单调递减；当单调递增.故取得极小值.（2）若仿（1）得，在取得极小值.（3）若无极值.（Ⅰ）当时，由（1）知，因则由（1）知，因为，则由（2）知，.又因为则由（2）知，由此猜测：当时，下面先用数学归纳法证明：当时，事实上，当时，由前面的讨论知结论成立.假设当成立，则由（2）知，，从而，所以故当时，成立.于是由（2）知，当时，，因此综上所述，当a=0时，（II）存在a，使数列是等比数列，事实上，由（2）知，若对任意的n，都有，则即数列是首项为a，公比为3的等比数列，且而要使，即都成立，只需对一切都成立.记…令，则，因此，当

6、时，，从而函数在上单调递减，故当时，数列单调递减，即数列中最大项为于是当时，必有这说明，当时，数列是等比数列.当由（3）知，无极值，不合题意.当时，可得…，数列不是等比数列.当由（3）知，无极值，不合题意.当…，数列不是等比数列.综上所述，存在a，数列是等比数列，且a的取值范围为3、（江西理）22.（本小题满分14分高☆考♂资♀源*网）证明以下命题：（1）对任一正整a,都存在整数b,c(b

7、勾股数进行拼凑。证明：考虑到结构特征，取特值满足等差数列，只需取b=5a，c=7a，对一切正整数a均能成立。结合第一问的特征，将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形，再证明互不相似，且无穷。证明：当成等差数列，则，分解得：选取关于n的一个多项式，做两种途径的分解对比目标式，构造，由第一问结论得，等差数列成立，考察三角形边长关系，可构成三角形的三边。下证互不相似。任取正整数m，n，若△m，△相似：则三边对应成比例，由比例的性质得：，与约定不同的值矛盾，故互不相似。4、（辽宁理）（21）（本小题满分12分）已知函数（I）讨论函数的单调性；（II）

8、设.如果对