广西贵港市2020年中考数学总复习试题 题型专项（八 类型4 探究全等三角形的存在性问题.doc

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1、类型4　探究全等三角形的存在性问题　1．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为D，与y轴交于点C，直线CD的解析式为y＝x＋2.(1)求b，c的值；(2)过C作CE∥x轴交抛物线于点E，直线DE交x轴于点F，且F(4，0)，求抛物线的解析式；(3)在(2)条件下，抛物线上是否存在点M，使得△CDM≌△CEM？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵直线CD的解析式为y＝x＋2，∴C(0，2)．∴c＝2.设直线CD交x轴于点A，∴A(－2，0)．∴＝＝.∴∠OCA＝30°.过点D作DM⊥

2、y轴于点M，∴∠DCM＝30°.∴MC＝DM.设抛物线的顶点横坐标为h，则CM＝h.∴D(h，2＋h)．∴y＝a(x－h)2＋2＋h.代入C(0，2)，∴2＝ah2＋2＋h.∴h1＝0(舍)，h2＝.∴y＝a(x＋)2＋2＋(－)＝ax2＋2x＋2.∴b＝2.(2)作抛物线的对称轴交x轴于点B(如图)，∵∠ACO＝30°，∴∠CDB＝30°.由抛物线的对称性，可得△DCE为等边三角形．∵CE∥x轴，∴△DAF为等边三角形．∴B为AF中点，∵A(－2，0)，F(4，0)，∴B(1，0)．∵抛物线对称轴为直线x＝1

3、.∴－＝1，∴－＝1.∴a＝－.∴D(1，3)．∴y＝－(x－1)2＋3＝－x2＋2x＋2.(3)存在．点M的坐标为(，)．2．(2015·金华改编)如图，抛物线y＝ax2＋c(a≠0)与y轴交于点A，与x轴交于点B，C两点(点C在x轴正半轴上)，△ABC为等腰直角三角形，且面积为4.现将抛物线沿BA方向平移，平移后的抛物线经过点C时，与x轴的另一交点为E，其顶点为F，对称轴与x轴的交点为H.(1)求a，c的值；(2)连接OF，试判断△OEF是否为等腰三角形，并说明理由；(3)现将一足够大的三角板的直角顶点Q放

4、在射线AF或射线HF上，一直角边始终过点E，另一直角边与y轴相交于点P，是否存在这样的点Q，使以点P，Q，E为顶点的三角形与△POE全等？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵△ABC为等腰直角三角形，∴OA＝BC.又∵△ABC的面积＝BC×OA＝4，即OA2＝4，∴OA＝2.∴A(0，2)，B(－2，0)，C(2，0)．∴解得图1(2)△OEF是等腰三角形．理由如下：如图1，∵A(0，2)，B(－2，0)，∴直线AB的函数表达式为y＝x＋2，又∵平移后的抛物线顶点F在射线BA上，∴设

5、顶点F的坐标为(m，m＋2)．∴平移后的抛物线函数表达式为y＝－(x－m)2＋m＋2.∵抛物线过点C(2，0)，∴－(2－m)2＋m＋2＝0，解得m1＝0(舍去)，m2＝6.∴平移后的抛物线函数表达式为y＝－(x－6)2＋8，即y＝－x2＋6x－10.当y＝0时，－x2＋6x－10＝0，解得x1＝2，x2＝10.∴E(10，0)，OE＝10.又∵F(6，8)，OH＝6，FH＝8.∴OF＝＝＝10，EF＝＝＝4，∴OE＝OF，即△OEF为等腰三角形．(3)存在．点Q的坐标为(6，2)或(6，3)或(10，12)或

6、(4＋，6＋)或(4－，6－)．