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1、例题估计水箱的水流量模型(1991年美国大学生数学建模竞赛的A题.问题中使用的长度单位为E(英尺,1E=30.24cm),容积单位是G(加仑,1G=3.785L)).问题的提出：某些州的用水管理机构需估计公众的用水速度(单位:G/h)和每天的总用水量.许多供水单位由于没有测量流入或流出量的设备,而只能测量水箱中的水位(误差不超过5%).当水箱水位低于水位L时,水泵开始工作将水灌入水箱,直至水位达到最高水位H为止.但是依然无法测量水泵灌水流量,因此,在水泵工作时无法立即将水箱中的水位和水量联系起来.水泵一天灌水1~2次,每次约2h.试估计在任一时刻(包括水
2、泵灌水期间)t流出水箱的流量并估计一天的总用水量.表1给出了某镇某一天的真实用水数据.水箱是直径为57E,高为40E的正圆柱体.当水位落到27E以下,水泵自动启动把水灌入水箱;当水位回升至35.5E时,水泵停止工作。10表1时间/s水位E时间/s水位E03316663510619139371792121240252232854332284359323933239435433183175311030542994294728922850279527522697泵水泵水3550344546636499535393657254605746455468535718
3、54750217925482649859688995393270335032603167308730122927284227672697泵水泵水347533973340模型假设(1)影响水从水塔流出的流率的唯一因素是公众对水的传统要求．因为附表只给出了某一天(实际是近26小时)水塔的水位数据，并没有对这些数据的产生有影响的因素作出具体说明，我们只能假定所给数据反映了有代表性的一天，而不包括任何特殊情况，如自然灾害、火灾、水塔溢水、水塔漏水等对水的特殊要求．(2)水塔中水的水位不影响水流量的大小．据物理学的Torricelli(托里查里)定律，水塔最大水流
4、量是与水位的高度的平方根成正比的．针对表8－1所给的数据，最大高度是35.50英尺,最小高度是27.00英尺,所以两个高度的最大水流量之比是,接近于1,所以我们假定水位不影响水流量,类似地,我们假定气候条件、条件变化等也不直接影响水流量.(3)水泵工作起止时间由水塔的水位决定.我们总是假定水位大约27.00英尺时,水泵就开始工作,直到水位升至大约35.50英尺时停止工作,每次充水时间约为两小时.水泵工作性能、效率总是一定的,不因使用次数多少而变化,水泵工作时不需要维修,也不中途停止工作.当然,水泵充水的水流量远大于水塔的水流量,以保证人们对水的需求.(4
5、)表1中水位数据取得的时间准确在1秒以内.(5)水塔的水流量与水泵状态独立,并不因水泵工作而增加或减少水流量的大小.(6)水塔的水流量曲线可以用一条光滑的曲线来逼近.这时,在每一个数据点,水流量的两阶导数是连续的,因为水的消耗是基于社区公众一天的活动,如洗澡、做饭、洗衣服等,每一个使用者的要求与整个社会的要求相比是微不足道的,而整个社会的需求是不可能同时增加或减少的,由于水的消耗的自然性,可以设想水流量曲线是一条连续光滑的曲线.10问题分析与模型建立1、为方便起见,记V----表示水的容积;----表示时刻(单位:h)时水的容积;------表示流出水箱
6、的水的流速(单位;G/h),它是时间的函数;p---------表示水泵的灌水速度(G/h).先将表1中数据作变换,时间单位用小时(h),水位高转换成水的体积，具体数据如表2所示(单位:).表2时间/h水量/G时间/h水量/G0.0.1.843062.949723.871394.978065.97.006397.928618.967789.9811110.925610.954212.0328606.098593.69583.571.546562.574552.074544.057533.557525.349514.849//677.685657.6412
7、.954413.8755814.982215.903916.826117.931719.037519.959420.839222.01522.958123.8824.986925.9083639.505622.324604.571598.299574.982558.756542.529528.212514.849//663.367648.477637.593根据假定，当水塔水位降至约27.00英尺时，开始充水，而水位升至约35.50英尺时停止充水，从所给数据自然无法知道水泵开始和停止工作的准确时间，但我们发现第一次充水前的最后一个测量数据是32284秒时
8、水位为26.97英尺，可见水泵在32284位秒后不久开始充水。39332秒时水泵
