平面与平面垂直的判定与性质.doc

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1、新希望学校培训资料平面与平面垂直的判定与性质教学重、难点：1.重点：平面与平面垂直的判定及应用。2.难点：二面角的度量及判定定理的应用。教学内容：要点一、二面角1．二面角定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角（dihedralangle）.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.2二面角的求法与画法棱为AB、面分别为、的二面角记作二面角.有时为了方便，也可在内(棱以外的半平面部分)分别取点P、Q，将这个二面角记作二面角P–AB–Q.如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角或P–l–Q.3．计算二面角大小的方法   （1）作二面角的平面角

2、，并将其放在一个三角形中，解三角形求出二面角的平面角大小，它就是二面角的大小。   作二面角的平面角常用下列三种方法：   ①用定义作二面角的平面角—在棱上取一点，分别在两个面内作棱的垂线，这两条射线组成二面角的平面角。利用定义作二面角的平面角，关键在于找棱及棱上的特殊点。学习时要特别注意平移和补形方法的灵活运用。       ②用三垂线定理作二面角的平面角—从二面角的一个面内选一个特殊点A，由A向另一个平面作垂线垂足为B，再由B向棱作垂线交棱于C，连结AC，则∠ACB就是二面角的平面角。利用三垂线定理（逆定理）作二面角的平面角是最常用的方法，它是通过二面角一

3、个面上的点向另一个面（基面）作垂线（主垂线）的办法来实现的，因此选好基面，再作主垂线，主垂线是解题的关键。   ③用垂面法作二面角的平面角—作垂直于二面角的棱或二面角两个半平面的垂面，则该垂面与二面角两个半平面交线所成的角就是二面角的平面角。   （2）面积法—如果一个多边形在一个平面内的射影是一个多边形，且这两个多边形所在平面所成的二面角为θ，则。3二面角的平面角如图（1）在二面角的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱l心在那里新的希望就在那里新希望学校培训资料的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.（2）二

4、面角的平面角的大小与O点位置无关.（3）二面角的平面角的范围是[0，180°]（4）平面角为直角的二面角叫做直二面角.[例1]如图，PC⊥平面ABC，AB＝BC=CA＝PC，求二面角B－PA－C的平面角的正切值．       分析由PC⊥平面ABC，知平面ABC⊥平面PAC，从而B在平面PAC上的射影在AC上，由此可用三垂线定理作出二面角的平面角．   解 ∵PC⊥平面ABC   ∴平面PAC⊥平面ABC，交线为AC作BD⊥AC于D点，据面面垂直性质定理，BD⊥平面PAC，作DE⊥PA于E，连BE，据三垂线定理，则BE⊥PA，从而∠BED是二面角B－PA－C的

5、平面角．   设PC＝a，依题意知三角形ABC是边长为a的正三角形，    [例1]如图过正方形ABCD的顶点A作PA⊥平面ABCD，设PA=AB＝a求(1)二面角B－PC－D的大小；(2)平面PAB和平面PCD所成二面角的大小．    分析二面角B－PC－D的棱为PC，所以找平面角作棱的垂线，而平面PAB和平面PCD所成二面角“无棱”须找二面角的棱．   解 (1)∵PA⊥平面ABCD，BD⊥AC   ∴BD⊥PC(三垂线定理)   在平面PBC内，作BE⊥PC，E为垂足，连结DE，得PC⊥平面BED，从而DE⊥PC，即∠BED是二面角B－PC－D的平面角．

6、   在Rt△PAB中，由PA＝AB=a    (2)过P作PQ∥AB，则PQ平面PAB，   ∵AB∥CD∴PQ∥CD，PQ平面PCD   ∴平面PAB∩平面PCD于PQ   ∵PA⊥AB，AB∥PQ∴PA⊥PQ   ∵PA⊥平面ABCD，CD⊥AD   ∴CD⊥PD(三垂线定理的逆定理)心在那里新的希望就在那里新希望学校培训资料   ∵PQ∥CD∴PD⊥PQ   所以∠APD是平面PAB和平面PCD所成的二面角的平面角．   ∵PA＝AB=AD，∴∠APD=45°   即平面PAB和平面PCD所成的二面角为45°.   评注在求无棱二面角的大小时有时须作出

7、棱线后再找平面角要点二、平面与平面垂直的判定1．平面与平面垂直的定义，记法与画法.一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.两个互相垂直的平面通常画成此图的样子，此时，把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.平面与垂直，记作⊥.2．两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.[例3]过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°。   求证：平面ABC⊥平面BSC。    证法一： 作AD⊥平面BSC，D为垂足。       ∵∠ASB=∠AS

8、C=60°，SA=SB=SC，则AS=