平面向量基本定理及坐标表示.docx

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1、平面向量基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中，不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，

2、a

3、＝.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量

4、的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，

5、

6、＝.3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a、b共线⇔x1y2－x2y1＝0.选择题：设e1，e2是平面内一组基底，那么(　　)A．若实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0B．空间内任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数)C．对实数λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在该平面内D．对平面内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对

7、下列各组向量中，可以作为基底的是(　　)A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(2，－3)，e2＝解析　两个不共线的非零向量构成一组基底，故选B.已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量a－b等于(　　)A．(－2，－1)B．(－2,1)C．(－1,0)D．(－1,2)10解析　a＝(，)，b＝(，－)，故a－b＝(－1,2)．已知a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于(　　)A．－a＋

8、bB.a－bC．－a－bD．－a＋b解析　设c＝λa＋μb，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)，∴∴∴c＝a－b.已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ等于(　　)A.B.C．1D．2解析　∵a＋λb＝(1＋λ，2)，c＝(3,4)，且(a＋λb)∥c，∴＝，∴λ＝已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，则c等于(　　)A.B.C.D.解析　由已知3c＝－a＋2b＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)，∴c＝.已知向

9、量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则k的值是(　　)A．－B.C.D.解析　＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(－2k，－2)，∵A，B，C三点共线，∴，共线，∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量A同方向的单位向量为(　　)A.B.C.D.10解析　A＝O－O＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)，∴与A同方向的单位向量为＝.已知点A(－1,5)和向量a＝(2,3)，若＝3a，则点B的坐标为(　　)A．(7,4)B．(7

10、,14)C．(5,4)D．(5,14)解析　设点B的坐标为(x，y)，则＝(x＋1，y－5)，由＝3a，得解得已知向量a＝(－1,2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的(　　)A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析　由题意得a＋b＝(2,2＋m)，由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2，∴m＝－6，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要条件，故选A已知在□ABCD中，＝(2,8)，＝(－3,4)，则＝(　　)A．(－1，－12)B．(

11、－1,12)C．(1，－12)D．(1,12)解析　∵四边形ABCD是平行四边形，∴＝＋＝(－1,12)在△ABC中，点D在BC边上，且＝2，＝r＋s，则r＋s等于(　　)A.B.C．－3D．0解析　∵＝2，∴＝＝(－)＝－，则r＋s＝＋＝0已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且＝2，则向量＝(　　)A.＋B.＋C.＋D.＋解析　如图，∵＝2，∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋10在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4,3)，＝(1,5)，则等于(　　)A．(－2,7)B．(－6,2

12、1)C．(2，－7)D．(6，－21)解析　＝3＝3(2－)＝6－3＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　)A.B.C.D.解析　∵＝＋＝＋＝＋(＋)＝2＋＋＝2－－，∴＝－，∴λ＋μ＝.填空题：已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝_____