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《材料力学6材力弯曲变形》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、材料力学第六章弯曲变形DeformationsinBending研究梁的变形有二个主要目的:①对梁进行刚度计算和校核;②用于求解超静定梁。qABCyxPC’fBfCqx§6-1概述Introduction一,基本概念(BasicConcepts):在本章,我们只限于研究平面弯曲梁的变形和位移。在平面弯曲条件下,梁的直轴线受载变形后,成为载荷作用平面内的一条平面曲线-----挠度曲线(挠曲线DeflectionCurve),它又叫弹性曲线(ElasticCurve)。由图可见,弯曲使梁上任一横截面(如C截面)产生移动和绕中性轴的转动。梁横截面形心的垂直位移(如CC’=fC)称为挠度(
2、Deflection),用y表示(因变形前梁轴在x轴上)。规定:挠度y向下为正,向上为负。转角q顺时针为正,逆时针为负。梁横截面相对于原来的位置转动的角度(如C→C’点的q)称为转角(AngleofRotation),常用q表示。由图易见:注:梁横截面形心的水平位移为二阶微量(dx<10h)时,相对于弯矩M(x)对梁
3、变形的影响为高阶微量。故可忽略不计剪力Q(x)引起的位移yQ。规定:x轴向右为正,挠度y向下为正,则y’’应与M异号。故得:(6-2)式即梁的挠曲线近似微分方程。§6-2(2)梁挠曲线近似微分方程的积分IntegrationMethodofElasticCurve一般M的正负与坐标轴的方向选取无关。而y’’的正负与坐标轴y的方向选取有关。故易得:y轴(↑)选取时y’’=M/(EI);y轴(↓)选取时y’’=－M/(EI)。本讲义的y轴为向下(↓)选取!当梁的弯矩函数确定后,即可积分(6-2)式,求得任意x坐标处横截面的转角:及其挠度:其中的积分常数(IntegralConstant
4、)C1和C2可由梁对变形的约束来确定(其相应的条件叫边界条件(BoundaryConditions)。此法通常叫二次积分法(DoubleIntegrationMethod)。式(6-3a)通常叫转角方程(RotativeAngleEquation)式(6-3b)通常叫挠度方程(DeflectionalEquation)§6-2(2)梁挠曲线近似微分方程的积分IntegrationMethodofElasticCurve常见的边界条件:ABAByA=0yB=0qA=0,yA=0当M(x)为分段表示的函数时,此法需分段积分。若分n段则有2n个积分常数。但仍可由边界条件和相邻段分界处的连
5、续条件(ContinuityCondition)来确定。连续条件:弹性曲线应为连续(曲线上任一点y左=y右,不断开,为连续曲线)、光滑(曲线上任一点q左=q右,无尖角,即dy/dx为连续函数)的曲线。PlPABABll(a)(b)在y轴(↓),x轴(→)时:y＞0则y↓;y＜0则y↑;q＞0则q;q＜0则q显而易见,梁的位移不但与外载引起的梁的变形有关,而且与梁的支座情况有关。如图(a),(b)的Q,M图相同,但变形由于支座的不同而不同。§6-2(2)梁挠曲线近似微分方程的积分IntegrationMethodofElasticCurve例题6－1图示一抗弯刚度为EI的悬臂梁,在自
6、由端受一集中力P作用。试求梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其最大挠度fmax和最大转角qmax。解:为了应用公式(6－2b)求解,首先写出此梁的弯矩方程。为此,可取x处横截面右侧梁段,由荷载P直接写出:M(x)=-P(l-x)(l)将式(1)中的M(x)代入公式(6－2b),即得挠曲线近似微分方程:EIy”=-M(x)=Pl-Px(2)然后通过两次积分，即得:EIy'=Plx-Px2/2+C(3)EIy=Plx2/2－Px3/6+Cx+D(4)在悬臂梁中,边界条件是固定端处的挠度和转角都等于零。即在x=0处:y’=0;在x=0处:y=0根据这两个边界条件,可得:C=0及D=0将已确
7、定的这两个积分常数代入(3)、(4)两式,即得梁的转角方程和挠曲线方程分别为:q=y’=Plx/(EI)-Px2/(2EI)(5)和y=Plx2/(2EI)－Px3/(6EI)(6)在以上结果中:挠度为正值,说明梁变形时B点问下移动;转角为正值,说明梁变形时横截面B沿顺时针转向转动。根据梁的受力情况及边界条件,画出梁的挠曲线的示意图(见图)后可知,此梁的最大转角qmax和最大挠度fmax都发生在x=l的自由端截面处。由(5)、(6)两式可分别求得qmax及fmax值为
