陈文登考研数学辅导书(附带详细答案,word版本).doc.doc

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1、函数极限连续一.填空题1．设,则a=________.解.可得=,所以a=2.2.=________.解. <<所以 <<,(n®¥),(n®¥)所以 =3.已知函数   ,则f[f(x)]_______.解.f[f(x)]=1.4.=_______.解.       =5.=______.解.6.已知(¹0¹¥),则A=______,k=_______.解.所以 k－1=1990,  k=1991; 二.单项选择题1.设f(x)和j(x)在(－¥,+¥)内有定义,f(x)为连续函数,且f(x)¹0,j(x)有间断点,

2、则(a)j[f(x)]必有间断点(b)[j(x)]2必有间断点(c)f[j(x)]必有间断点(d)必有间断点解.(a)反例    , f(x)=1,则j[f(x)]=1(b)反例    ,[j(x)]2=1(c)反例    , f(x)=1,则f[j(x)]=1(d)反设 g(x)=在(－¥,+¥)内连续,则j(x)=g(x)f(x)在(－¥,+¥)内连续,矛盾.所以(d)是答案.2.设函数,则f(x)是(a)偶函数  (b)无界函数  (c)周期函数  (d)单调函数解.(b)是答案.3.极限的值是(a)0    (

3、b)1   (c)2   (d)不存在解.=,所以(b)为答案.4.设,则a的值为(a)1   (b)2   (c)    (d)均不对解.8==    =,  ,所以(c)为答案.5.设,则a,b的数值为(a)a=1,b=   (b)a=5,b=   (c)a=5,b=   (d)均不对解.(c)为答案.6.设,则当x®0时(a)f(x)是x的等价无穷小       (b)f(x)是x的同阶但非等价无穷小(c)f(x)比x较低价无穷小       (d)f(x)比x较高价无穷小解.=,所以(b)为答案.7.设,则a的

4、值为(a)－1   (b)1   (c)2   (d)3解.,1+a=0,a=－1,所以(a)为答案.8.设,则必有(a)b=4d   (b)b=－4d   (c)a=4c   (d)a=－4c解.2==,所以a=－4c,所以(d)为答案.1.求下列极限(1)解.(2)解.令=(3)解.   =   ==.2.求下列极限(1)解.当x®1时,,.按照等价无穷小代换   (2)解.方法1：==    ==    =    =    =    =方法2：    ==    ==    =    =    =3.求下列极限(

5、1)解.  (2)解.    (3),其中a>0,b>0解.         =4.求下列函数的间断点并判别类型(1)解., 所以x=0为第一类间断点.(2)解.  显然,所以x=1为第一类间断点;,所以x=－1为第一类间断点.(3)   解.f(+0)=－sin1,f(－0)=0.所以x=0为第一类跳跃间断点;  不存在.所以x=1为第二类间断点;  不存在,而,所以x=0为第一类可去间断点;  ,(k=1,2,…)所以x=为第二类无穷间断点.5.设,且x=0是f(x)的可去间断点.求a,b.解. x=0是f(x)的

6、可去间断点,要求   存在.所以   .所以   0=   =   所以a=1.     =上式极限存在,必须.6.设,b¹0,求a,b的值.解.上式极限存在,必须a=(否则极限一定为无穷).所以     =. 所以.7.讨论函数  在x=0处的连续性.解.当时不存在,所以x=0为第二类间断点;当时,所以时,在x=0连续,时,x=0为第一类跳跃间断点.8.设f(x)在[a,b]上连续,且a

7、假定所以 m££M所以存在x(ab,试证在(a,b)内至少存在一个x,使f(x)=x.证明:假设F(x)=f(x)－x,则F(a)=f(a)－a<0,F(b)=f(b)－b>0于是由介值定理在(a,b)内至少存在一个x,使f(x)=x.10.设f(x)在[0,1]上连续,且0£f(x)£1,试证在[0,1]内至少存在一个x,使f(x)=x.证明:(反证法)反设.所以恒大于0或恒小于0.不妨设.令,则.因此.于是,矛盾.所以在[0,1

8、]内至少存在一个x,使f(x)=x.11.设f(x),g(x)在[a,b]上连续,且f(a)g(b),试证在(a,b)内至少存在一个x,使f(x)=g(x).证明:假设F(x)=f(x)－g(x),则F(a)=f(a)－g(a)<0,F(b)=f(b)－g(b)>0于是由介值定理在(a,b)内至少存在一个x,