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1、函数极限连续一.填空题1．设,则a=________.解.可得=,所以a=2.2.=________.解. <<所以 <<,(n®¥),(n®¥)所以 =3.已知函数 ,则f[f(x)]_______.解.f[f(x)]=1.4.=_______.解.112 =5.=______.解.6.已知(¹0¹¥),则A=______,k=_______.解.所以 k－1=1990, k=1991; 二.单项选择题1.设f(x)和j(x)在(－¥,+¥)内有定义,f(x)为连续函数,且f(x)¹0,j(x)有间断点,则(a)j[f(x)]必有间断点(b)
2、[j(x)]2必有间断点(c)f[j(x)]必有间断点(d)必有间断点解.(a)反例 , f(x)=1,则j[f(x)]=1(b)反例 ,[j(x)]2=1(c)反例 , f(x)=1,则f[j(x)]=1(d)反设 g(x)=在(－¥,+¥)内连续,则j(x)=g(x)f(x)在(－¥,+¥)内连续,矛盾.所以(d)是答案.2.设函数,则f(x)是(a)偶函数 (b)无界函数 (c)周期函数 (d)单调函数解.(b)是答案.1123.极限的值是(a)0 (b)1 (c)2 (d)不存在解.=,所以(b)为答案.4.设,则a
3、的值为(a)1 (b)2 (c) (d)均不对解.8== =, ,所以(c)为答案.5.设,则a,b的数值为(a)a=1,b= (b)a=5,b= (c)a=5,b= (d)均不对解.(c)为答案.6.设,则当x®0时(a)f(x)是x的等价无穷小 (b)f(x)是x的同阶但非等价无穷小(c)f(x)比x较低价无穷小 (d)f(x)比x较高价无穷小解.=,所以(b)为答案.7.设,则a的值为(a)－1 (b)1 (c)2 (d)3112解.,1+a=0,a=－1,所以(a)为答案.8.设,则必
4、有(a)b=4d (b)b=－4d (c)a=4c (d)a=－4c解.2==,所以a=－4c,所以(d)为答案.1.求下列极限(1)解.(2)解.令=(3)解. = ==.2.求下列极限112(1)解.当x®1时,,.按照等价无穷小代换 (2)解.方法1：== == = = = =方法2： == ==112 = = =3.求下列极限(1)解. (2)解. (3),其中a>0,b>0解. =4.求下列函数的间断点并判别类型112(1)解., 所以x=0为第
5、一类间断点.(2)解. 显然,所以x=1为第一类间断点;,所以x=－1为第一类间断点.(3) 解.f(+0)=－sin1,f(－0)=0.所以x=0为第一类跳跃间断点; 不存在.所以x=1为第二类间断点; 不存在,而,所以x=0为第一类可去间断点; ,(k=1,2,…)所以x=为第二类无穷间断点.5.设,且x=0是f(x)的可去间断点.求a,b.解. x=0是f(x)的可去间断点,要求 存在.所以112 .所以 0= = 所以a=1. =上式极限存在,必须.6.设,b¹0,求a,b的值.解.上式极限存在,必须a=(否则极限
6、一定为无穷).所以 =. 所以.7.讨论函数 在x=0处的连续性.解.当时不存在,所以x=0为第二类间断点;当时112,所以时,在x=0连续,时,x=0为第一类跳跃间断点.8.设f(x)在[a,b]上连续,且ab,试证在(a,b)内至少存在一个x,使f(x)=x.证明:假设F(x)=f(x)－x,则F(a
7、)=f(a)－a<0,F(b)=f(b)－b>0于是由介值定理在(a,b)内至少存在一个x,使f(x)=x.10.设f(x)在[0,1]上连续,且0£f(x)£1,试证在[0,1]内至少存在一个x,使f(x)=x.证明:(反证法)反设.所以恒大于0或恒小于0.不妨设.令,则.因此.于是,矛盾.所以在[0,1]内至少存在一个x,使f(x)=x.11.设f(x),g(x)在[a,b]上连续,且f(a)g(b),试证在(a,b)内至少存在一个x,使f(x)=g(x).证明:假设F(x)=f(x)－g(x),则F(a)=f(a)－g(a)<0,F(
8、b)=f(b)－g(b)
