1990年“希望杯”数学竞赛.doc

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1、1990第二试一、选择题1、等腰三角形周长是24cm，一腰中线将周长分成5:3的两部分，那么这个三角形的底边长是（）A、7.5B、12C、4D、12或42、已知：，那么P的值是（）A、1987B、1988C、1989D、19903、a＞b＞c,x＞y＞z,M=ax+by+cz,N=az+by+cx,P=ay+bz+cx,Q=az+bx+cy，则有（）A、M＞P＞N且M＞Q＞NB、N＞P＞M且N＞Q＞MC、P＞M＞Q且P＞N＞QD、Q＞M＞P且Q＞N＞P4、凸四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，∠CDA:∠ABC=2:1，AD:CB=1:，∠BDA的度数是（）A、30°B、45°C

2、、60°D、不能确定5、把一个边长为1的正方形分割成面积相等的四部分，使得在其中的一部分内存在三个点，以这三个点为顶点可以组成一个边长大于1的正三角形，满足上述性质的分割（）A、是不存在的B、恰有一种C、有有限多种，但不止一种D、有无穷多种二、填空题6、△ABC中，∠CAB-∠B=90°，∠C的平分线与AB交于L，∠C的外角平分线与BA的延长线交于N，已知CL=3，则CN=（）。7、若，那么的值是（）8、已知a,b,c满足a+b+c=0,abc=8,则c的取值范围是（）.9、△ABC中，∠B=30°，AB=，BC=，三个两两互相外切的圆全在△ABC中，这三个圆面积之和的最大值的整数部分是（

3、）10、设a,b,c是非零实数，那么的值是（）三、解答题11、从自然数1，2，3…，354中任取178个数，试证：其中必有两个数，它们的差是177。12、平面上有两个边长相等的正方形ABCD和A´B´C´D´，且正方形A´B´C´D´的顶点A´在正方形ABCD的中心。当正方形A´B´C´D´饶A´转动时，两个正方形的重合部分的面积必然是一个定值。这个结论对吗？证明你的判断。13、用1、9、9、0四个数码组成的所有可能的四位数中，每一个这样是四位数与自然数n之和被7除余数都不为1，将所有满足上述条件的自然数n由小到大排成一列,试求：的值。12、平面上有两个边长相等的正方形ABCD和A´B´C

4、´D´，且正方形A´B´C´D´的顶点A´在正方形ABCD的中心，当正方形A´B´C´D´绕A´转动时，两个正方形的重合部分的面积必然是一个定值，这个结论对吗？证明你的判断。13、用1，9，9，0四个数码组成的所有可能的四位数中，每一个这样的四位数与自然数n之和被7除余数都不为1，将所有满足上述条件的自然数n由小到大排成一列试求：之值。