微积分(上)复习资料——公式.doc

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1、微积分(上)复习资料——公式1函数1.1初等函数：常量函数y=C(C)幂函数y=xa(a)指数函数y=ax(a>0,a≠0)对数函数logax(a>0,a≠0)三角函数y=sinxy=cosxy=tanxy=cotx反三角函数y=arcsinx=sin-1xy=arccosx=cos-1xy=arctanx=tan-1xy=arccotx=cot-1x1.2三角函数公式1.两角和公式2.二倍角公式3.半角公式4.和差化积公式5.积化和差公式6.万能公式7.平方关系8.倒数关系9.商数关系【特殊角的

2、三角函数值】x0π6π3π2πsinx0123210cosx132120-1tanx0333不存在0cotx不存在3330不存在2极限2.1数列极限四则运算若数列{an}与{bn}为收敛数列，则{an±bn}{an∙bn}也是收敛数列，且(1)limn→∞(an±bn)=limn→∞an±limn→∞bn(2)limn→∞(an∙bn)=limn→∞an∙limn→∞bn(3)limn→∞anbn=limn→∞anlimn→∞bn(bn≠0及limn→∞bn)2.2函数极限运算定理1四则运算法则(

3、1)limx→x0[fx±gx]=limx→x0f(x)±limx→x0gx=A±B(2)limx→x0[fx∙gx]=limx→x0f(x)∙limx→x0gx=A∙B(3)limx→x0f(x)g(x)=limx→x0f(x)limx→x0g(x)=AB(B≠0)定理2复合函数极限设函数y=f[φ(x)]是函数u=φ(x)，y=f(u)的复合函数。若limx→x0φx=u0,y=f(u)在u0有定义且limu→u0fu=u0，则limx→x0f[g(x)]=f(u0)因为limx→x0φx=u

4、0，所以定理结论也也可写成limx→x0fφx=f[limx→x0φx]推论3若limx→x0fx存在，C为常数，则limx→x0[Cfx]=Climx→x0fx推论4若limx→x0fx存在，n为正整数，则limx→x0[fx]n=[limx→x0fx]n2.3常用极限limx→osinxx=1limx→∞(1+1x)x=e（系数不为0的情况）2.4常用x→0时的等价无穷小sinx~x,arcsinx~x,tanx~x,arctanx~x,ln1+x~x,ex-1~x,1-cosx~x22，ax

5、-1~xlna，1+xa-1~ax3导数3.1导数的四则运算法则u±v'=u'±v'uv'=u'v+uv',Cu=Cu'，推广uvw=u'vw+uv'w+uvw'uv'=u'v-uv'v2,1v=-v'v2反函数导数：fx'=1φx'或dydx=1dxdy复合函数导数：y'x=f'u+φ'x或dydx=dydu∙dudx(链式法则)3.2基本导数公式⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾⑿⒀⒁⒂⒃⒄⒅3.3高阶导数的运算法则（1）（2）（3）（4）3.4基本初等函数的n阶导数公式（1）（2）（3）(4)(5)(6

6、)(7)5微分5.1微分的四则运算根据与导数的关系，所以与导数相同5.2微分的近似计算中的应用由函数增量与微分的关系∆y=f'x0∆x+α∙∆x=dy+α∙∆x,其中∆x→0时α→0，当∆x很小时，有∆y≈dy，因此fx+x0≈fx0+f'x0∆x或当x≈x0时有fx≈fx0+f'x0x-x0令x0=0，得下列函数在原点附近的近似公式：sinx≈tanx≈lnx≈x，ex≈1+x5.3微分公式与微分运算法则⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾⑿⒀⒁⒂⒃5.4微分运算法则⑴　　　　　　　　　　　⑵⑶　　　　　　　

7、　　　　⑷5.5几种常见的微分方程(课外知识)1.可分离变量的微分方程：，2.齐次微分方程：3.一阶线性非齐次微分方程：解为：8不定积分8.1基本积分公式1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、课外21、22、23、其中为双曲正弦函数(课外知识)24、其中为双曲余弦函数(课外知识)8.2下列常用凑微分公式积分型换元公式xfax2+bdx=12afax2+bdax2+bu=ax2+b1xfxdx=2fxdxu=x1xflnxdx=flnx

8、dlnxu=lnx课外课外课外课外课外8.5分部积分法公式⑴形如，令，形如令，形如令，⑵形如，令，形如，令，⑶形如，令均可。8.6第二换元积分法中的三角换元公式(1)(2)(3)