换元法在不定积分和定积分中的联系与区别.doc

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1、换元法在不定积分和定积分中的联系与区别1.第一换元法在不定积分和定积分中的联系与区别1.1不定积分中第一换元法的定理形式定理1若fx=gφxφ'x，且gudu的原函数容易求出，记gudu=Gu+c，则fxdx=Gφx+c.证明若fx=gφxφ'x，令u=φx，于是有gφxdu=Gφx+c，du=φ'xdx因而fxdx=gφxφ'xdx=gφxdu=Gφx+c得证。1.2定积分中第一换元法的定理形式定理2若fx连续，φx在a,b上一阶连续可导，且fx=gφxφ'x，gu在α和β构成的区间上连续，其中φa=α，φb=β，则abfxdx=αβgudu.证

2、明令u=φx，由于gu在α和β构成的区间上连续，记gudu=Gu+c，则abfxdx=abgφxφ'xdx=Gφxab=Guαβ=αβgudu得证。1.3第一换元法在不定积分和定积分中的联系与区别区别：第一换元法在定积分中对未知量x给出了定义范围，要求换元函数φx在该定义域内一阶连续可导即可，对积分要求变弱。联系：不定积分的实质是求一个函数的原函数组成的集合，部分定积分的计算可以利用不定积分的第一换元法求出简单函数fx的任意一个原函数Fx，再用原函数在定义域的上下限的函数值取差值。例1求01x1+x2dx.解因为x1-x2dx=-12d-x21-x

3、2=-12d1-x21-x2=-12∙21-x212+C=-1-x212+C即x1-x2有一个原函数-1-x212，所以01x1-x2dx=-1-x21201=1.例2计算积分0π2cos3x+5dx.解由于cos3x+5dx=13cos3x+5d3x+5=13sin3x+5+C,于是0π2cos3x+5dx=13sin3x+50π2=13sin3π2+5-13sin5.1.第二换元法在不定积分和定积分中的联系与区别2.1不定积分中第二换元法的定理形式定理3设fx连续，x=φt及φ‘t都连续，x=φt的反函数t=φ-1x存在且连续，并且fφtφ‘t

4、dt=Ft+c，（1）则fxdx=Fφ-1x+c（2）证明将（2）式右端求导同时注意到（1）式，得ddxFφ-1x+c=F't∙φ-1x'=fφtφ‘t∙1φ‘t=fx，这便证明了（2）式。2.2定积分中第二换元法的定理形式定理4设fx在a,b连续，作代换x=φt，其中φt在α和β构成的区间上有连续导数φ‘t，且φα=a，φβ=b，则abfxdx=αβfφtφ‘tdt.证明设Fx是fx的一个原函数，则Fφt是fφtφ‘t的一个原函数。于是abfxdx=Fb-Fa，αβfφtφ‘tdt=Fφβ-Fφα=Fb-Fa.定理得证。2.3第二换元法在不定积分

5、和定积分中的联系与区别区别：由不定积分中第二换元法的证明过程可知，不定积分中第二换元法要求变换x=φt的反函数存在且连续，并且φ‘t≠0。而在定积分的第二换元法则不这样要求，它通过换元法写出关于新变量的被积函数与新变量t的积分上下限后可以直接求职，不像不定积分的计算最终需要对变量进行还原。例3用第二换元法求解01x1-x2dx解令x=cost，于是dx=-sintdt，其中t∈3π2,2π，则01x1-x2dx=3π22πcost1-cost2-sintdt=3π22πcost-sint-sintdt=3π22πcostdt=sint3π22π=1

6、.