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1、初中数学换元法专题讲座讷河市孔国乡进化中心学校刘桂兰一、相关概念1、换元就是引入辅助未知数，把题中某一个（些）字母的表达式用另一个（些）字母的表达式来代换，这种解题方法，叫做换元法，又称变量代换法。2、换元的目的是化繁为简，化难为易，连接已知和未知。例如通过换元来降次，或化分式、根式为整式等。换元的关鍵是选择适当的式子进行代换。3、换元要注意新旧元的取值范围的变化。要避免代换的新变量的取值范围被缩小；若新变量的取值范围扩大了，则在求解之后要加以检验。4、二元对称方程（组）二元对称方程：方程中的未知数x、y互换后，方程保持不变的方程称为二元对称方程；二元对
2、称方程组：由两个二元对称方程组成的方程组称为二元对称方程组。解二元对称方程组，常用二元基本对称式代换。5、倒数方程倒数方程：按未知数降幂排列后，与首、末等距离的项的系数相等。例如：一元四次倒数方程ax4+bx3+cx2+bx+a=0。两边都除以x2,得a(x2+)+b(x+)+c=0。设x+=y,那么x2+=y2－2,原方程可化为ay2+by+c－2=0。对于一元五次倒数方程ax5+bx4+cx3+cx2+bx+a=0，必有一个根是－1。原方程可化为(x+1)(ax4+b1x3+c1x2+b1x+a)=0。ax4+b1x3+c1x2+b1x+a=0，这是
3、四次倒数方程。形如：ax4－bx3+cx2＋bx+a=0的方程，其特点是：与首、末等距离的偶数次幂项的系数相等，奇数次幂的系数是互为相反数。两边都除以x2,可化为a(x2+)－b(x－)+c=0。设x－=y,则x2+=y2+2, 原方程可化为ay2－by+c+2a=0。二、例题讲解例1解方程=x。解：设=y,那么y2=2x+2。原方程化为： y－y2=0。解得y=0；或y=2。当y=0时， =0(无解)当y=2时， =2，解得，x=。 检验（略）。例2解方程：x4+(x－4)4=626。解：（用平均值 代换，可化为双二次方程。）设y=x－2，则x=y+
4、2。 原方程化为 (y+2)4+(y－2)4=626。［(y+2)2－(y－2)2]2＋2(y+2)2(y－2)2－626=0整理，得y4+24y2－297=0。(这是关于y的双二次方程)。(y2+33)(y2－9)=0。 当y2+33=0时， 无实根； 当y2－9=0时， y=±3。即x－2=±3， ∴x=5；或x=－1。例3解方程：2x4+3x3－16x2+3x+2=0。解：∵这是个倒数方程，且知x≠0，两边除以x2,并整理 得2(x2+)+3(x+)－16=0。设x+=y, 则x2+=y2－2。原方程化为 2y2+3y－20=0。解得
5、y=－4；或y=。由y=－4得 x=－2+；或x=－2－。由y=得 x=2；或x=。例4 解方程组解：（这个方程组的两个方程都是二元对称方程，可用基本对称式代换。）设x+y=u, xy=v。原方程组化为：。解得； 或。即 ； 或。解得：；或；或；或。三、练习题解下列方程和方程组：（1—13题）：1、35－2x。2、(16x2－9)2+(16x2－9)(9x2－16)+(9x2－16)2=(25x2－25)2。3、(2x+7)4+(2x+3)4=32。4、(2x2－x－6)4+(2x2－x－8)4=16。5、(2)4+(2)4=16。6、=。 7
6、、2x4－3x3－x2－3x+2=0。8、 9、。10、(6x+7)2(3x+4)(x+1)=6。11、。 12、。13、。 14、分解因式： ①(x+y－2xy)(x+y－2)+(1－xy)2； ②a4+b4+(a+b)4。15、已知：a+2=b－2=c×2=d÷2,且a+b+c+d=1989。 则a=___,b=____,c=_____,d=____。16、［a］表示不大于a的最大整数，如［］=1，［－］=－2，那么方程［3x+1］=2x－的所有根的和是_____。练习题参考答案1、 2、±± 3、－ 4、
7、2,－, 5、6、17、,2 8、9、 10、－,－ 11、 12、13、 14、①设x+y=a,xy=b②设a2+b2=x,ab=y15、设原式=k,k=442 16、–2可设2x－=t,x=t+代入[3x+1]
