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1、——相交弦、切割线、切线长定理2.5与圆有关的比例线段探究1:如图1,AB是⊙O的直径,CD⊥AB,AB与CD相交于P,线段PA、PB、PC、PD之间有什么关系？OBDACP图1证明:连接AD、BC.则由圆周角定理的推论可得:∠A＝∠C.∴Rt△APD∽Rt△CPB.探究2:将图１中的AB向上（或向下）平移,使AB不再是直径（如图２），结论（１）还成立吗？OBDACP图２OBDACP图１PA·PB=PC·PD……(1)OBDACP图１PA·PB=PC·PD……(1)证明:连接AD、BC.则由圆周角定理的推论可得:∠A＝∠C.∴△AP
2、D∽△CPB.探究3:上面讨论了CD⊥AB的情形．进一步地,如果CD与AB不垂直，如图３,AB、CD是圆内的任意两条相交弦,结论（１）还成立吗？OBDACP图３OBDACP图２PA·PB=PC·PD……(2)PA·PB=PC·PD……(3)综上所述，不论AB、CD具有什么样的位置，都有结论（１）成立！相交弦定理：圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.OBDACP几何语言：AB、CD是圆内的任意两条相交弦,交点为P,∴PA•PB=PC•PD.探究4:使圆的两条弦的交点从圆内（图３）运动到圆上（图４），再到圆外（图５），结论
3、(1)还成立吗？OBDACP图3OBA(C,P)D图4OBDACP图5当点P在圆外,连接AD、BC,容易证明:△PAD∽△PCB,所以PA:PC=PD:PB,即PA•PB=PC•PD仍成立.割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每一条割线与圆的交点的两条线段长的乘积相等.应用格式（几何语言描述）:∵PAB,PCD是⊙O的割线,∴PA∙PB=PC∙PD.OBDACP图5点P从圆内移动到圆外PA∙PB=PC∙PDOBDACP图3PA∙PB=PC∙PD图5OCPADB使割线PB绕P点运动到切线的位置，是否还有PA∙PB=PC∙PD？
4、探究5:使割线PB绕点P运动到切线位置,结论(1)还成立吗？．PDCA(B)O证明：连接AC、AD，∵PA切⊙O于点A,∴∠D=∠PAC.又∠P=∠P,∴△PAC∽△PDA.∴PA：PD=PC：PA.∴PA2=PC∙PD.切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆的交点的两条线段长的比例中项.应用格式（几何语言描述）:∵PA是⊙O的切线,PCD是⊙O的割线,∴PA²=PC∙PD.ODPCAODPCA(B)点P从圆内移动到圆外.相交弦定理PA∙PB=PC∙PDOBDACP图3割线定理PA∙PB=PC∙PD图5OCP
5、ADB使割线PA绕P点运动到切线的位置.OA(B)PCD切割线定理PA2=PC•PD使割线PC绕P点也运动到切线的位置.OA(B)PC(D)探究6:使割线PD绕点P运动到切线位置，结论(1)还成立吗？易证Rt△OAP≌Rt△OCP.PA=PC,∠CPO=∠APOA(B)POC(D)切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.应用格式（几何语言描述）:∵PA、PC是⊙O的切线,∴PA=PC,∠APO=∠CPO.PC切⊙O于点C=>PA∙PB=PC²切割线定理OBPCA割线PCD、PAB交
6、⊙O于点C、D和A、B=>PA∙PB=PC∙PD割线定理OBCADPAB交CD于点P=>PA∙PB=PC∙PD相交弦定理OBPCADPA、PC分别切⊙O于点A、C=>PA=PC,∠APO=∠CPO切线长定理OA(B)PC(D)例1(1)如图,圆内的两条弦AB、CD相交于圆内一点P,已知PA=PB=4,PC=PD/4.求CD的长.OBPCAD(1)解：设PC=x,则PD=4x,CD=5x.由相交弦定理，得PA∙PB=PC∙PD,∴4×4=x•4x,解得x=2.∴CD=2x5=10.(2)如图：过点A作⊙O的两条割线,分别交⊙O于B、C
7、和D、E.已知AD=4,DE=2,CE=5,AB=BC.求AB、BD.OAECDB(2)如图：过点A作⊙O的两条割线,分别交⊙O于B、C和D、E.已知AD=4,DE=2,CE=5,AB=BC.求AB、BD.OAECDB解：由割线定理得AD·AE=AB·AC∴4x(4+2)=AB·2AB∴AB=∵∠ADB=∠ACE,∠CAE=∠DAB∴△ABD∽△AEC∴AB:AE=BD:CE∴:6=BD:5∴BD=练习1.如图,割线PAB,PCD分别交圆O于A,B和C,D；PT是圆的切线(1)已知PA=5,PB=8,PC=4,则PD=,PT=(2)
8、已知PA=5,PB=8,PO=7,则半径R=103ODPATBCPA·PB=(7-R)·(7+R)FE例2如图,E是圆内两弦AB和CD的交点，直线EF//CB,交AD的延长线于点F，FG切圆于点G.求证：(1)△DFE∽△EFA;(2
