线性连续系统的能控性

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1、线性系统的能控性和能观性动态系统的能控性和能观性是揭示动态系统不变的本质特征的两个重要的基本结构特性。卡尔曼在60年代初首先提出状态能控性和能观性。其后的发展表明,这两个概念对回答被控系统能否进行控制与综合等基本性问题,对于控制和状态估计问题的研究,有着极其重要的意义。系统能控性指的是控制作用对被控系统的状态和输出进行控制的可能性。能观性反映由能直接测量的输入输出的量测值来确定反映系统内部动态特性的状态的可能性。为什么经典控制理论没有涉及到这两个结构性问题?这是因为经典控制理论所讨论的是SISO系统输入输出的分析和综合问题,它的输入输出间的动态关系可以唯一地由传递函数所确定。因此,给定

2、输入,则一定会存在唯一的输出与之对应。反之,对期望输出信号,总可找到相应的输入信号(即控制量)使系统输出按要求进行控制,不存在能否控制的问题。此外,输出一般是可直接测量,不然,则应能间接测量。否则,就无从对进行反馈控制和考核系统所达到的性能指标。因此,在这里不存在输出能否测量(观测)的问题。所以,无论是从理论还是实践,经典控制理论和技术一般不涉及到能否控制和能否观测的问题。现代控制理论中着眼于对表征MIMO系统内部特性和动态变化的状态进行分析、优化和控制。状态变量向量的维数一般比输入向量的维数高,这里存在多维状态能否由少维输入控制的问题。此外,状态变量是表征系统动态变化的一组内部变量,

3、有时并不能直接测量或间接测量,故存在能否利用可测量或观测的输出输出的信息来构造系统状态的问题。能控性的直观讨论状态能控性反映输入u(t)对状态x(t)的控制能力。如果状态变量x(t)由任意初始时刻的任意初始状态引起的运动都能由输入(控制项)来影响,并能在有限时间内控制到空间原点,那么称系统是能控的,或者更确切地说,是状态能控的。否则,就称系统为不完全能控的。下面通过实例来说明能控性的意义。该电桥系统中,电源电压u(t)为输入变量,并选择两电容器两端的电压为状态变量x1(t)和x2(t)。试分析电源电压u(t)对两个状态变量的控制能力。例某电桥系统的模型如图4-1所示。电桥系统由电路理论

4、知识可知,若电桥系统是平衡的(例Z1=Z2=Z3=Z4),电容C2的电压x2(t)是不能通过输入电压u(t)改变的,即状态变量x2(t)是不能控的,则系统是不完全能控的。若电桥系统是不平衡的,两电容的电压x1(t)和x2(t)可以通过输入电压u(t)控制,则系统是能控的。由状态空间模型来看,当选择两电容器两端电压为状态变量x1(t)和x2(t)时,可得如下状态方程:由上述状态方程可知,状态变量x2(t)的值,即电桥中电容C2的电压,是自由衰减的,并不受输入u的控制。因此,该电压的值不能在有限时间内衰减至零,即该状态变量是不能由输入变量控制到原点。具有这种特性的系统称为状态不能控的。例某

5、并联双水槽系统如图所示,其截面积均为A,它们通过阀门O均匀地输入等量液体,即其流量QO相同。并联双水槽系统当阀门1和2的开度不变时,设它们在平衡工作点邻域阀门阻力相等并可视为常数,记为R。图中h1(t)和h2(t)分别为水槽液面高度,Q1(t)和Q2(t)分别为流量。该双水槽系统的状态能控性可分析如下:对本例的流体力学系统,假设对两个水槽的流入和流出的水流体已处于平衡。下面仅考虑流量QO的变化量QO所引起的水槽水位的变化。由各水槽中所盛水量的平衡关系和流量与压力(水面高度)的关系,有其中代表平衡工作点附近的变化量。选上述方程中变化量h1和h2为状态变量,将状态变量带入方程中并消

6、去中间变量Q1和Q2消去,则有解上述状态方程,可得由上述解可知,当初始状态x1(0)和x2(0)不等时,则x1(t)和x2(t)的状态轨迹完全不相同,即在有限时间内两条状态轨线不相交。因此,对该系统,无论如何控制流入的流量QO(t),都不能使两水槽的液面高度的变化量h1(t)和h2(t)在有限时间内同时为零,即液面高度不完全能进行任意控制。上面用实际系统初步说明了能控性的基本含义,能控性在系统状态空间模型上的反映可由如下两个例子说明。给定系统的状态空间模型与结构图分别为本例中,状态变量x1的运动只受初始状态x1(0)的影响,与输入无关,即输入u(t)不能控制x1(t)的运动,

7、而且x1(t)不能在有限时间内衰减到零。因此,状态x1(t)不能控,则整个系统是状态不完全能控的。1/s-1-21/s由该状态方程可知,状态变量x1(t)和x2(t)都可由输入u单独控制,可以说,x1(t)和x1(t)都是单独能控的。对该状态方程求解后可得x1(t)-x2(t)=e-3t[x1(0)-x2(0)]即状态x1(t)和x1(t)总是相差一个固定的,不受u(t)控制的函数值。给定系统的状态空间模型为因此,x1(t)和x1(t)不能在有