（浙江专用）高考数学第八章立体几何与空间向量3第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系教学案.docx

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1、第3讲　空间点、直线、平面之间的位置关系1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．公理2的三个推论：推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．2．空间直线的位置关系(1)位置关系的分类(2)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空

2、间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．②范围：．(3)等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)空间中直线和平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点直线a在平面α内a⊂α有无数个公共点直线在平面直线a与平面α平行a∥α没有公共点外直线a与平面αa∩α＝A有且只有一个斜交公共点直线a与平面α垂直a⊥α(2)空间中两个平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点两平面平行α∥β没有公共点两平面相交斜交α∩

3、β＝l有一条公共直线垂直α⊥β且α∩β＝a[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.(　　)(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(　　)(3)两个平面ABC与平面DBC相交于线段BC.(　　)(4)没有公共点的两条直线是异面直线．(　　)答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×[教材衍化]1．(必修2P43练习T1改编)下列命题中正确的是(　　)A．过三点确定一个平面B．四边形是平面图形C．三条直线两两相交

4、则确定一个平面D．两个相交平面把空间分成四个区域解析：选D.对于A，过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面，故A错误；对于B，四边形也可能是空间四边形，不一定是平面图形，故B错误；对于C，三条直线两两相交，可以确定一个平面或三个平面，故C错误；对于D，平面是无限延展的，两个相交平面把空间分成四个区域，故D正确．2．(必修2P52B组T1(2)改编)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为________．解析：连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求，

5、又B1D1＝B1C＝D1C，所以∠D1B1C＝60°.答案：60°[易错纠偏](1)判断直线与平面的位置关系时，忽视“直线在平面内”；(2)对等角定理的应用条件认识不清．1．已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是(　　)A．相交或平行B．相交或异面C．平行或异面D．相交、平行或异面解析：选D.依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面．故选D.2．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是(　　)A．OB∥O1B1

6、且方向相同B．OB∥O1B1C．OB与O1B1不平行D．OB与O1B1不一定平行解析：选D.两角相等，角的一边平行且方向相同，另一边不一定平行，故选D.　　　　　　平面的基本性质如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E、F分别是AB和AA1的中点．求证：E、C、D1、F四点共面．【证明】　如图所示，连接CD1、EF、A1B，因为点E、F分别是AB和AA1的中点，所以EF∥A1B且EF＝A1B.又因为A1D1綊BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥CD1，所以EF∥CD1，所以EF与CD1确定一个平面α，所以E、F、C、D

7、1∈α，即E、C、D1、F四点共面．(变问法)若本例条件不变，如何证明“CE，D1F，DA交于一点”？证明：如图，由本例知EF∥CD1，且EF＝CD1，所以四边形CD1FE是梯形，所以CE与D1F必相交，设交点为P，则P∈CE，且P∈D1F，又CE⊂平面ABCD，且D1F⊂平面A1ADD1，所以P∈平面ABCD，且P∈平面A1ADD1.又平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，所以P∈AD，所以CE、D1F、DA三线交于一点．(1)点线共面问题证明的两种方法①纳入平面法：先确定一个平面，再证有关点、线在此平面内；②辅助平面法：先证有关点、线确定平面

8、α，再证其余点、线确定平面β，最后证明平面α，β重合．(2)证明多线共点问题的两步①先证其中两条直线交于一点；②再证交点在第三条直线上．