一类单自由度碰撞振动系统的颤振分析.pdf

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1、第35卷第2期温州大学学报·自然科学版2014年5月Vol35,No2JournalofWenzhouUniversity·NaturalSciencesMay,2014一类单自由度碰撞振动系统的颤振分析121王小斌，周鹏，黄剑(1．数理与软件工程学院；2．机电工程学院，兰州交通大学，甘肃兰州730070)摘要：研究了一类单自由度碰撞振动系统的颤振运动，运用理论推导的方法找到了其颤振完成点及颤振时间，并针对该碰撞系统中的颤振导致的碰撞问题，借助慧尾映射找到了一种有效的研究该碰撞系统中颤振现象的数值方法．利用数值仿真的方法揭示了系统中的完全颤振和不完全颤振现象．关键词：碰撞；颤振

2、；慧尾映射；数值仿真中图分类号：O325文献标志码：A文章编号：1674-3563(2014)02-0015-07DOI：10.3875/j.issn.1674-3563.2014.02.003本文的PDF文件可以从xuebao.wzu.edu.cn获得碰撞问题大量地出现在生物系统和机械系统中，这些系统大多数是非光滑或分段光滑的．非[1]光滑动力系统作为动力学的一个分支，广泛存在于多个科学领域．早期，StevenWayneShaw等对碰撞振子作了大量研究，他们发现这类系统中存在倍周期分岔和混沌等非线性特征，随后许多[2-6]学者将非光滑系统的研究重点由局部分析转向全局问题，也取

3、得了许多成果．碰撞系统通常存在擦边和颤振这两种新颖的非光滑系统的动力学特性，这使得其呈现出许多光滑系统中所没有的复杂动力学行为．颤振作为碰撞系统的一个特殊性质，主要可以概括为完全颤振和非完全颤振．完全颤振表示在有限时间间隔内系统发生了无穷次的碰撞；不完全颤振表示在有限时间间隔内系统发生N（N为一个很大的有限数）次碰撞．本文对一类具有单侧刚性约束的单自由度碰撞振动系统的碰撞过程进行了研究，利用数学理论的相关知识找到了其颤振完成点和颤振时间，并以此碰撞系统为模型（图1），通过借助慧尾映射的概念，有效地近似了完全颤振中产生的碰撞现象，分析了其发生机理．1系统的力学模型及运动微分方程具

4、有单侧刚性约束的单自由度碰撞振动系统的力学模型如图1所示，质量为M的振子由刚度为K的线性弹簧和阻尼系数为C的线性阻尼器连接于支承，并受到简谐激励Psin(T)的水平方向的作用，当振子的位移X等于间隙B时，振子与刚性约束A发生碰撞．设碰撞由碰撞恢复系数R确定，振幅为P，频率为，相位为．当XB时，系统自由运动微分方程如下：MXCXKXPsin()．（1）当XB时，碰撞发生，碰撞块的速度根据碰撞法则改变，质块的碰撞方程为：XRX，XB．（2）11收稿日期：2013-12-04作者简介：王小斌(1985-)，男，甘肃秦安人，硕士研究生，研

5、究方向：非线性与动力系统16温州大学学报·自然科学版(2014)第35卷第2期取无量纲参数：KXKKCMx，tT，b，，，c2，（3）PMP2MKK因此，系统的运动过程可由下面的无量纲方程确定：xcxxsin(t)，xb，（4）xrx，xb，（5）11其中，x和x分别表示质块与约束发生碰撞前后的瞬时速度，r为碰撞恢复系数．11依据微分方程的相关理论，系统在运动区域内的通解为：txt()e(cosctcsint)Asin(t)Bcos(t)，（6）10202式中，1，c和c为由系统确

6、定的积分常数，可由初始条件求得．振幅常数：012212A，B．222222(1)(2)(1)(2)图1系统模型图2碰撞运动对于上述系统（4），映射R表示碰撞法则，通常可以表示为：Rx()xWxHFx()()，xTW(x)(0,(r1),0)，其中r(0r1)为恢复系数．设自由运动时系统（4）的轨线流为(x,t)，其中(x,t)F((x,t))，(x,0)x，Ft为系统的向量场，则系统轨线沿约束面法线方向的速度和加速度分别为：22vx()LHx()H((,))xtHFx()，ax()LHx()H((,)

7、)xt．（7）FxF2tt在特定条件下，系统（4）除了自由运动和高速冲击碰撞外，还可能与约束面紧贴，产生黏滑运动．由文献[7]，可以定义黏滑面为{:xHx()0,()vx0,()ax0}，当x时，ss相对应的黏滑运动方程为：xFx()Fx()()()xWx．（8）s事实上，黏滑运动与系统的颤振有着密不可分的关系．下面来具体分析系统的碰撞运动过程．王小斌等：一类单自由度碰撞振动系统的颤振分析17T当xb时，碰撞发生，令x=x,x,x，其中，xx，xx