一些特殊函数的完全单调性.pdf

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1、2015年4月纯粹数学与应用数学Apr.2015第31卷第2期PureandAppliedMathematicsVol.31No.2一些特殊函数的完全单调性元志芳,王连堂(西北大学数学学院,陕西西安710127)摘要：欧拉Gamma函数是一种非常重要的函数,在数学的许多分支以及物理、工程等学科中都有着十分重要的作用.而完全单调性以及对数完全单调性是Gamma函数的重要性质.主要证明了一些包含Gamma函数和Psi函数在内的特殊函数的完全单调性和对数完全单调性,并由此推出了一些重要的不等式.关键词：完全单调性;对数完全单调性;Gamma函数;Psi函数;充分必要条件中图分类号：O17

2、4.6文献标识码：A文章编号：1008-5513(2015)02-0129-07DOI：10.3969/j.issn.1008-5513.2015.02.0031引引引言言言函数f被称作是区间I上的完全单调函数,如果f在区间I上的各阶导数都存在,且满足(1)nf(n)(x)0(8x2I;n=0;1;2;


);如果此不等式严格大于零,则称函数f在区间I上是严格完全单调的[1].正函数f被称作是区间I上的对数完全单调函数,如果它的对数lnf满足(1)n[lnf(x)](n)0(8x2I;n=1;2


);如果此不等式严格大于零,则称f在I上是严格对数完全单调的[2].区间

3、I上的对数完全单调函数,也是区间I上的完全单调函数[3]:著名的欧拉Gamma函数的定义为:∫∞(x)=tx−1e−tdt(Rex>0);0′(x)(k)其对数微商(x)=;称为Psi函数或digamma函数,Psi函数的k阶导数(x)(k2N)(x)被称作polygamma函数[4].收稿日期：2014-11-17.基金项目：陕西省自然科学基金(2010JM1017).作者简介：元志芳(1988-),硕士生,研究方向：特殊函数论.130纯粹数学与应用数学第31卷2引引引理理理为了证明本文的主要结论,先给出下面的引理.引引引理理理2.1[5-6]对任意的正整数n和正实数x,下

4、列结论成立:∫()∫∫∞e−te−xt∞e−te−xt11∞(x)=dt;lnx=dt;=e−xttn−1dt:0t1e−t0txn(n)0引引引理理理2.2[6]当x!1时,下列结论成立:()()111ln(x)=xlnxx+ln(2)+O;22x()()11111ln1+=++O:xx2x23x3x43主主主要要要结结结论论论及及及证证证明明明文献[7]中,提出函数lnx1(x)在区间(0;1)上是完全单调的.本文通过验证函2x数(x+1)lnx在区间(0;1)上的完全单调性,推广得到下面的一般性结论.定义函数f(x)=(x+1)lnx+;x>0:x定

5、定定理理理3.1当实数0时,函数f(x)在区间(0;1)上是完全单调函数,当且仅当1时,函数f(x)在区间(0;1)上为完全单调函数.2证证证明明明由引理2.1,得∫()∫∞11∞e−xtf(x)=(x+1)lnx+=e−xt+dt,p(t)dt;xtet1t(et1)00其中p(t)=(t+1)et(t+t+1)(t0).通过计算得p′(t)=(t++1)et(+1);p′′(t)=(t+2+1)et;′′′e−xt且p(0)=p(0)=0.当0时p(t)0;由此可推知,p(t)0:又t(et−1)>0;所以当x2(0;1)时,f(x)0且有

6、∫∞−xtn(n)en−1(1)[f(x)]=tp(t)dt0;0(et1)所以当0时,函数f(x)在区间(0;1)上是完全单调函数.同理,由引理2.1得∫∞−xtef(x),(p(t))dt;0t(et1)第2期元志芳等:一些特殊函数的完全单调性131其中p(t)是前文定义过的函数.当1时p′′(t)0,由此可推得,p(t)0:又2e−xt>0;t(et1)所以当1时,f(x)0且有2∫∞−xtn(n)en−1(1)[f(x)]=t(p(t))dt0;0(et1)所以,当1时,函数f(x)在区间(0;1)上为完全单调函数.2若函数

7、f(x)为区间(0;1)的完全单调函数,则f(x)0,即(x+1)lnx+0,x从而x[lnx(x+1)].所以limx[lnx(x+1)].利用引理2.2的第一个结论,得x→∞1limx[lnx(x+1)]=;x→∞2所以1:2定定定理理理3.2当且仅当1时,函数2ex(x+1)g(x)=p;x>02xx+为对数完全单调函数.证证证明明明函数g(x)的对数函数为:plng(x)=x+ln(x+1)ln2(x+)lnx;由引理2.1