数学物理方法1-1复变函数与解析函数

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1、数学物理方法王丽艳Email:nj_wly@sina.com答疑地点：数学系(图书馆507)概述主干基础课以高数和普物为基础，为后续专业课做准备承上启下。课程的主要目的是，培养学生用数学语言表述物理问题的能力、综合应用数学知识的能力，提高运算能力。课程的主要内容有：复变函数论、积分变换及应用、偏微分方程的定解问题、特殊函数、近似解法.教材及指导书一、教材：管平等编.《数学物理方法》，第二版，高等教育出版社，2010年4月二、主要的参考书：梁昆淼编.《数学物理方法》，第三版，高等教育出版社，1998年6月。胡嗣柱、倪光炯编，《

2、数学物理方法》，上海：复旦大学出版社郭敦仁编，《数学物理方法》，北京：人民教育出版社。陆全康编，《数学物理方法自学辅导》，上海：上海科学技术出版社。要求和考核基本要求：1、课前预习2、按时、准时上课，不迟到、早退和缺席3、上课认真听讲，做好笔记4、课后复习，整理笔记，独立完成作业成绩组成和考试方式：1、平时成绩（出勤、听课、作业、笔记)占20%，考试占80%2、考试方式：闭卷笔试第一章复变函数主要内容:§1.1复变函数和解析函数§1.2复变函数的积分§1.3复变函数的级数§1.4留数及其应用§1.5分式线性变换。§1.1复变

3、函数和解析函数§1.1.1复变函数z=x+iyx=Rez，y=Imzi为虚数单位，i2=-1复数的几何意义一、复数的概念复平面复数z=x+iy虚轴实轴模幅角注：复数的表示代数表示：z=x+iy三角表示：z=r(cosθ+isinθ)指数表示：z=rexp(iθ)复数的运算z1=z2当且仅当Rez1=Rez2且Imz1=Imz1注：复数不能比较大小复数相等零点与无穷远点复平面上特殊的点:零点和无穷远点.(1)复数零的幅角没有定义,模为0.(2)无穷远点的模为∞,幅角不确定.包含“无穷远点”的复平面称为扩充复平面，该无穷远点借助

4、测地投影法来定义。测地投影法定义无穷远点AAA’二、复数的运算三、复变函数区域的基本概念邻域平面上以z0为中心，δ为半径的圆的内部的点所组成的集合，称为z0的δ-邻域

5、z-z0

6、<δ0<

7、z-z0

8、<δz0δz0δ开集如果G内的每一个点都是它的内点，那么称G为开集。Gz0内点设G为一平面点集，z0为G中任意一点，如果存在z0的一个邻域，使该邻域的所有点都属于G，那么称z0为G的内点。区域平面点集D称为一个区域，如果它满足下列两个条件：1.D是开集；2.D是连通的。边界点设D为复平面上的一个区域，如果点p不属于D，但是在p的任

9、何邻域内都包含有D中的点，这样的点p称为D的边界点。闭区域区域D连同它的边界一起构成闭区域，记为Dz1z2p边界D的边界点之全体称为D的边界。xyORxyORxyROrxyR-ROxOy1xOy单连通域与多连通域设B为复平面上的一个区域，如果在其中作一条简单的闭曲线（自身不相交的闭合曲线），而曲线内部总属于B，则称B为单连通区域，否则称为多连通区域。BB单连通域多连通域复变函数的定义设D是复平面上的一个区域。如果有一个确定的法则f存在，使得对于D内的的每一个复数z，有一个或多个复数w=u+iv与之对应，那么称复变数w是复变

10、数z的函数，或复变函数，记为w=f(z)。说明1如果z的一个值对应着唯一一个w值，那么我们称f(z)是单值函数；如果z的一个值对应着多个w值，那么我们称f(z)是多值函数。值域：M={w

11、w=f(z),z∈D}说明2复变函数w=f(z)可以看作是z平面到w平面上的一个映射。复变函数w=f(z)可以写成w=u(x,y)+iv(x,y)，其中是z=x+iyw=f(z)z平面w平面举例求0<θ<π,0

12、变函数的极限和连续性设A=u0+iv01.1.2解析函数一、复变函数可微与导数的概念定义1设复变函数f在内有定义,如果极限存在,则称函数f在处可导,并称此极限值为f在点处的导数,记为,即或记为定义结论：可微等价于可导，且若函数在区域D内的每一点都可导，则称在D内可导.例1.求(为正整数)的导数.解：1.从定义形式上看，复变函数与一元实变函数是完全一样的，所以实变函数论中的相关规则往往可以适用于复变函数。2.复变函数的可导有更严格的要求实变函数Δx只能沿实轴逼近0，而复变函数Δz则可以沿任何曲线逼近于0。例如：注意：首先看Δz

13、则沿实轴逼近于0的情形：再看Δz沿虚轴逼近于0的情形：定理1.1.1(可导的必要条件)Cauchy-Riemann条件例5证明：定理1.1.2（可微的充要条件）导数f'(z0)的幅角Argf'(z0)是曲线经过w=f(z)映射后在z0处的转动角.w=f(z)Argf'(z0)导数f'(z0