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1、第四章解析函数的级数表示(Therepresentationofpowerseriesofanalyticfunction)§4.1复数项级数§4.2复变函数项级数§4.3泰勒（Taylor）级数§4.4洛朗(Laurent)级数第一讲§4.1复数项级数§4.2复变函数项级数§4.1复数项级数一、复数序列的极限二、复数项级数(Seriesofcomplexnumber）一、复数序列的极限记作就能找到一个正数N,从而有所以同理定理4.1那末对于任意给定证明反之,如果从而有[证毕]称为复数项级数.称为级数的部分和.若{sn}(n=1,2,…,)以有限复数s为极限,二、复数项级
2、数即则称复数项无穷级数(4.1)收敛于s,且称s为(4.1)的和,写成否则称级数(4.1)为发散.定理4.2复级数收敛于s=a+ib(a,b为实数)的充要条件为:解（1）（2）例3解定理4.3级数收敛的必要条件是证明因为级数收敛的充分必要条件是都收敛，再由实级数收敛的必要条件是定理4.4若级数收敛，则级数也收敛.为条件收敛。为条件收敛。为条件收敛。为条件收敛。若级数收敛,则称绝对收敛.若级数收敛,发散，则称例4故原级数收敛,且为绝对收敛.所以由正项级数的比值判别法知:解：因为故原级数收敛.所以原级数条件收敛.例5解§4.2复变函数项级数一、复变函数项级数二、幂级数(Ser
3、iesoffunctionofcomplexvariable)设复变函数项级数f1(z)+f2(z)+f3(z)+…+fn(z)+…(4.2)的各项均在区域D内有定义,且在D内存在一个函数f(z),对于D内的每一点z,级数（4.2）均收敛于f(z),则称f(z)为级数(4.2)的和函数,记为:一、复变函数项级数的复函数项级数称为幂级数,其中a,c0,c1,c2,…,都是复常数.二、幂级数形如：以上幂级数还可以写成如下形式定理4.5(阿贝尔)如果幂级数(4.3)在某点z1(≠a)收敛,则它必在圆K:
4、z-a
5、<
6、z1-a
7、(即以a为圆心圆周通过z1的圆)内绝对收敛.a•收敛
8、,它的各项必然有界,即有正数M,使(n=0,1,2,…),因为
9、z-a
10、<
11、z1-a
12、,故级数收敛证明设z是所述圆内任意点.因为在圆K内绝对收敛.推论若幂级数(4.3)在某点z2(≠a)发散,则满足
13、z-a
14、>
15、z2-a
16、的点z都是幂级数(4.3)发散点.az1z2当z≠a有以下三种情况:(1)对所有的复数z幂级数（4.3）均收敛.幂级数,首先它在z=a点处总是收敛的，例如,级数对任意固定的z,从某个n开始,总有于是有故该级数对任意的z均收敛.(2)对于任意z≠a幂级数（4.3）都发散.例如,级数通项不趋于零,故级数发散.(3)存在一点z1≠a,使级数收敛(此时,根据定理
17、4.5的第一部分知,它必在圆周
18、z-a
19、=
20、z1-a
21、内部绝对收敛),另外又存在一点z2,使幂级数（4.3）发散.(肯定
22、z2-a
23、≥
24、z1-a
25、);根据推论知,它必在圆周
26、z-a
27、=
28、z2-a
29、外部发散.)在这种情况下,可以证明,存在一个有限正数R,使得级数(4.3)在圆周
30、z-a
31、=R内部绝对收敛,在圆周
32、z-a
33、=R外部发散.R称为此幂级数的收敛半径;圆
34、z-a
35、36、z-a
37、=R分别称为它的收敛圆和收敛圆周.在第一情形约定R=+∞;在第二情形,约定,并也称它们为收敛半径.R=0..收敛圆收敛半径幂级数的收敛范围是以O点为中心的圆域.收敛圆周一个幂级数在其圆周
38、上的敛散性有三种可能:(1)处处发散.(2)处处收敛.(2)既有收敛点,又有发散点.幂级数的收敛半径的求法则幂级数的收敛半径为:R=1/l(l≠0,l≠+∞);0(l=+∞);+∞(l=0).(4.4)例1求下列幂级数的收敛半径:(1)(并讨论在收敛圆周上的情形)(2)(并讨论时的情形)解(1)因为所以收敛半径即原级数在圆内收敛,在圆外发散,在圆周上,级数这个例子表明：在收敛圆周上既有级数的收敛点,也有级数的发散点.所以原级数在收敛圆上是处处收敛的.所以例2求的收敛半径.解例3把函数表成形如的幂级数,其中是不相等的复常数.解：把函数写成如下的形式:代数变形,使其分母中出现
39、凑出级数收敛,且其和为收敛半径另一求法Oxyab当
40、z-a
41、<
42、b-a
43、=R时级数收敛(1)幂级数的和函数f(z)在其收敛圆K:
44、z-a
45、
