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1、第四章解析函数的级数表示(Therepresentationofpowerseriesofanalyticfunction)第一讲授课题目：§4.1复数项级数§4.2复变函数项级数教学内容：复数序列的极限、复数项级数及其敛散性、复变函数项级数、幂级数、幂级数收敛半径的求法、幂级数和函数的解析性.学时安排：2学时教学目标：1、正确理解条件收敛与绝对收敛2、掌握幂级数的收敛圆的概念，会求幂级数的收敛半径，了解幂级数的运算和性质.3、正确掌握幂级数和函数的解析性教学重点：复数项级数教学难点：幂级数和函数的解析性教学方式：多媒体与板书相结合作业布置：思考题：1、2、习题三：1-5板书设计：
2、一、幂级数二、幂级数收敛半径的求法三、幂级数和函数的解析性参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版.3、《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005年5月.4、《复变函数与积分变换》苏变萍陈东立编，高等教育出版社，2008年4月.课后记事：1、会熟练求幂级数的收敛半径2、基本掌握幂级数和函数的解析性3、课后要答疑教学过程：§4.1复数项级数(Seriesofcomplexterms)一、复数序列的极限（Limitofthepluralarray）设为一复数序列，其中按照是有界或无界序
3、列，来定义为有界或无界序列.设是一个复常数.如果任给，可以找到一个正数，使得当时，有,那么我们说收敛或有极限，或者说是收敛序列，并且收敛于，记作.如果序列不收敛，则称发散，或者说它是发散序列.定理（Theorem）4.1设，则的充分必要条件是证明：由下列不等式可知，因此，有下面的注解：注1：复数序列也可以解释为复平面上的点列，于是点列收敛于，注2：利用两个实数序列的相应的结果，我们可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差、积、商.二、复数项级数及其敛散性(ComplexandtheConvergenceofSeries)设为一复数序列，表达式称
4、为复数项级数.记作，其部分和序列为：如果序列收敛，那么就称级数收敛；如果，那么说的和是，或者说收敛于，记作，如果序列发散，那么就称级数发散.例1当时，判断级数是否收敛？解：部分和当时，有，从而有所以，这就是说，当时，级数收敛，其和为，即当时定理（Theorem）4.2设，则级数收敛的充分必要条件是与都收敛.定理（Theorem）4.3级数收敛的必要条件是证明：因为级数收敛的充分必要条件是与都收敛，，再由实级数与收敛的必要条件是定理（Theorem）4.4若级数收敛，则级数也收敛.定义4.1若级数收敛,则称绝对收敛.非绝对收敛的收敛级数，称为条件收敛.例2判别下列级数的收敛性（1）（
5、2）（3）解：（1）发散（2）条件收敛（3）绝对收敛注3：关于实数项级数的一些基本结果，可以不加改变地推广到复数项级数，如：柯西收敛原理（复数项级数）：级数收敛必要与充分条件是：任给，可以找到一个正数，使得当时，对任意正整数，有本节重点掌握：（1）复数项级数及其敛散性判别法（2）收敛的充分必要条件是与都收敛.（3）级数收敛的必要条件是§4.2复变函数项级数(Seriesoffunctionofcomplexvariable)一、复变函数项级数(ComplexFunctionSeries)设在复平面区域内有定义,称其为复变函数序列,记为.称表达式（1）为区域内的复变函数项级数.其前项
6、和称为（1）的部分和.若对点,，则称在点收敛于,称在区域内收敛于.也称为级数的和函数例3在区域内，函数项级数收敛于，即定义:若"e>0,$N>0,当n>N时,对一切zÎE,有则称在E上一致收敛于.一致收敛的Cauchy收敛准则(UniformconvergenceofCauchyconvergencecriterion)在E上一致收敛当且仅当"e>0,$N>0,当n>N时,对一切pÎN,一切zÎE,有
7、
8、9、
10、£an,n=1,2,¼,zÎE.则在E上一致收敛.级数的和函数有如下性质：连续性(C
11、ontinuity)设在复平面点集E上连续,并且在E上一致收敛于,则在E上连续.可积性(Integrability)设在简单曲线C上连续,并且级数在C上一致收敛于,则内闭一致收敛(Uniformconvergenceinclosed)设函数在复平面上区域D内解析,如果在D内的在一有界闭区域上一致收敛,则称在D中内闭一致收敛.魏尔斯特拉定理（Theorem,StellaofEr,Wei）设函数在区域D内解析,并且在D内内闭一致收敛于.则（1）在D内解析,并且在D内（2）
