一个传染病模型的周期正解

《一个传染病模型的周期正解》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、l竹第l2卷第4期生物数学学报12No．41997年l2月JOL~RNALOFBIOMATHEMATICSDec1997、一个传染病模型的周期正解竖LR(广西师范毒磊鬲，崔林541oD4)H^摘要本文研究了一类传染病模型周期正解的存在唯一性关键词传染病模型周期解存在唯一性甲1传染病模型暇设在某一地区有一些人得了某种传染病，这种传染病通过接触有可能传染本地区其他人．依某种方式把这一地区划分为片，设C，(t)是第i片中在无传染病情况下易感者(尚未染上病，但只要与病人接触，就会感染得病)的数目，Y(t)

2、寝示在时刻t时第片中染病者的数目这样，f『(t)一Y(t)就是在时刻t时易感者在第i片中的数目．用(t)表示在时刻t时第片中的染病者对第片的易感者的传染率，a(t)表示第片中的发病率，丁表示病毒在人体内的潜伏期，如果我们假定，染病者一经得瘸就不会痊愈．也不会死亡，保持属于染病者，那么，我们得到如下的传染病模型(t)=一诉()(t)+(ff(t)一Y(t))岛(t)Yi(t一丁)1≤i≤(1)Ji当初，manovichA＆YorkeSAt41用类似于系统(1)的自治常微分系统(在系统(1)中，岛，(

3、t)．口(t)一(t)均为常数．且丁=0的情形)模拟了淋病的传染过程，并对确定的模型作了全局分析．后来，AronssonG＆MelladerIL2把[4]的模型推广为周期常微分系统(在系统(1)中，口f(t)，C(t)为常数，且T=0的情形)．BusenbergS＆CookeKL研究了系统(1)为纯量方程的情形(a(t)．(t)为常数，"=1)．最近，文献[1]就a(t)，(t)均为常数，(t)为周期函数的情形研究了系统(1)周期解的存在唯一性和渐近性．本文推广了[1]的工作，我们就a，(t)一(

4、t)，辟(t)均为cc卜周期函数的情形研究了模型(1)周期正解的存在唯一性．应该说，这比研究，C为常数的情形更加接近于现实．2周期解的存在性考虑时滞周期系统()=一口()yAt)+(()一Yi())∑岛()yj(t一丁)，l≤i≤n(1)，1卜其中Ori()，Ci()，岛()均是连续的cc卜周期函数．Cti(f)≥o一(f)>0．岛(f)≥0但∑岛(￡)I收藉日期：199610—18生物数学学报第l2卷>0(i=1，⋯，)，丁>0为常数．我们采用如下的函数空间C=C([一T，0]，R)，={f：[

5、一T，oo)一R为连续的一周期函数}，K={，C-C，f≥0}，K：=}，∈c，_厂≥0}．c，上定义的模均为C上的上确界模，记为ll·Il同时，我们记互=in()，=(￡)，rainc(￡)，r(￡)，岛rain~)()，(￡)，卫m，in备岛{，{c~j'=JiJI·考察(1)的初始值()=≠()≥0，i=1，⋯，n，t∈[一T，0](2)其中≠(t)(i=l，⋯，n)均为定义在[一T，0]上的连续函数．我们称初始值(2)是容许的，如果0≤≠()≤i=l，⋯，n，∈[一T，0](3)引理2．1

6、系统(1)关于初始值(2)的解存在且唯一，关于容许值(2)和(3)的解Y(t)在t∈[0，oo)上存在且0≤(t)≤对于￡∈[一T，oo)，=l，⋯，．证关于初值问题(2)的解的存在唯一性可用时滞方程中通常的分步法及常微分方程论中的单边存在唯一性定理推出．下证关于容许值问题的结果．设Y(t)=≠(t)<(i=l，⋯，)对Vt∈[一T，0]．假若存在t>O和某个i∈{l，⋯n，I使得Y(￡)>0，令￡1=inf{t>0，yi(t)>i，显然有Y，(￡1)=，以及(t1)>／o．但当q(t。)>0时，

7、由(1)推得(t1)=一n(t1)+((￡1)一)2岛(tI)∞(t1一丁)c1≤一口(t1)<0矛盾．当口f(tI)=0时，对t∈[0，t1)，由(1)推得Yi(f)_(O)_0))exp(一J3o((一T)d)注意到≠(0)≤，从而有。Y)_cf(f1)一(ci(O)_邶))exp(一J㈦(s—T)d)≤c：(1)≤这又与Y：(￡)>矛盾．所以yi(￡)≤t∈[一T，。。)，i=1，⋯，下面再证(￡)／>0，r∈[一T，oo)，1，⋯，假设存在5>O和∈{1，⋯，I，对VE>0，￡

8、2∈(0，￡)使得(s+t2)<0由(1)容易推得(+t2)>0，从而存在t2的左邻域N使得Yi(S+)≤(+f2)<0和(+t)>O对Vt∈N成立．设t是这样一些t的最小值，即t>0且Y(S+t’)<0，易见有(s+t)=0，但由(1)推得(+)>0，矛盾．因此0≤Yi()≤i=l，2，⋯，，∈[一T，。。)1理2．2L5考虑泛函微分方程工(t)=A(t，z)(￡)+g(t，工)(4)第4期冯春华：一个传染病模型的周期正解341其中,27：[～丁，0卜R，(=(t+)，A(t，声