chapter1 量子力学基础知识习题解答

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1、乐山师范学院化学与生命科学学院01.量子力学基础知识本章主要知识点一、微观粒子的运动特征h1.波粒二象性：Ehp==ν,λ2.测不准原理：∆x∆≥∆∆≥∆∆≥∆∆≥phyphzphtEh,,,,xyz二、量子力学基本假设1.假设1：对于一个量子力学体系，可以用坐标和时间变量的函数ψ(,,,)xyzt来描述，它包括体系的全部信息。这一函数称为波函数或态函数，简称态。不含时间的波函数ψ(,,)xyz称为定态波函数。在本课程中主要讨论定态波函数。由于空间某点波的强度与波函数绝对值的平方成正比，即在该点附近找到粒子的几率正比于*ψψ，所以通常将用波函数ψ描述的波称为几率波。在原子、分子等体系中

2、，将ψ称为原子轨道或分子轨道；将*ψψ称为几率密度，它就是通常所说的电子云；*ψψτd为空间某点附近体积元dτ中电子出现的几率。对于波函数有不同的解释，现在被普遍接受的是玻恩（M.Born）统计解释，这一解释的基本思想是：粒子的波动性（即德布罗意波）表现在粒子在空间出现几率的分布的波动，这种波也称作“几率波”。波函数ψ可以是复函数，ψ2=ψ*⋅ψ合格（品优）波函数：单值、连续、平方可积。2.假设2：对一个微观体系的每一个可观测的物理量，都对应着一个线性自厄算符。算符：作用对象是函数，作用后函数变为新的函数。线性算符：作用到线性组合的函数等于对每个函数作用后的线性组合的算符。Acˆˆ()

3、ψ+=+cψψψcAcAˆ112211221乐山师范学院化学与生命科学学院自厄算符：满足ψ**()AAˆˆψτψψτd=()d的算符。∫∫2121自厄算符的性质：（1）本证值都是实数；（2）不同本证值的本证函数相互正交。3.假设3：若某一物理量A的算符Aˆ作用于某一状态函数ψ，等于某一常数a乘以ψ，即：Aˆψ=aψ，那么对ψ所描述的这个微观体系的状态，物理量A具有确定的数字a。a称为物理量算符Aˆ的本证值，ψ称为Aˆ的本证函数。4.假设4：态叠加原理：若ψ,,ψψ",为某一微观体系的可能状态，则由它们12n线性组合所得的ψ也是体系可能的状态。ψ=+++=cc11ψψ22"cnnψ∑ci

4、iψ。iψ*Aˆψτd∫力学量A的平均值：A=。*∫ψψτd5.假设5：Pauli原理：在同一原子轨道或分子轨道上，最多只能容纳两个自旋相反的两个电子。或者说：对于多电子体系，波函数对于交换任意两个电子是反对称的。三、箱中粒子的Schrödinger方程及其解1.一维无限势阱的Schrödinger方程：22=dψ−=Eψ22dmx222nxπnh其解为：ψ()x=sin()，E=nn2ll8ml解的特点：（1）粒子可以存在多种运动状态；（2）能量是量子化的；（3）存在零点能；（4）没有经典运动轨道，只有概率分布；（5）存在节点，节点越多，能量越高。以上这些特点是所以量子力学体系都有的

5、特点。2乐山师范学院化学与生命科学学院本章习题解答21【1.1】将锂在火焰上燃烧，放出红光，波长λ=670.8nm，这是Li原子由电子组态(1s)(2p)21−1→(1s)(2s)跃迁时产生的，试计算该红光的频率、波数以及以kJmol⋅为单位的能量。81−c2.99810ms×⋅14−1解：ν===4.46910s×−7λ670.810m×1114−1ν===1.49110cm×−7λ670.810m×−34−−114123−−11EhN==×⋅ν6.62610Js××××4.46910s6.0310mol=⋅174.4kJmolA【1.2】实验测定金属钠的光电效应数据如下：波长λ/

6、nm312.5365.0404.7546.1-19光电子最大动能Ek/10J3.412.561.950.75作“动能-频率”，从图的斜率和截距计算出Plank常数(h)值、钠的脱出功(W)和临阈频率(ν)。0解：将各照射光波长换算成频率ν,并将各频率与对应的光电子的最大动能E列于下k表：λ/nm312.5365.0404.7546.1−1v/1014s9.598.217.415.49-19Ek/10J3.412.561.950.75由表中数据作图，示于图1.2中4J-193/10kE2104567891014-1ν/10g图1.2金属的E~ν图k由式hhEν=+ν推知0k3乐山师范学院

7、化学与生命科学学院EE∆kkh==ν−∆νν0即Planck常数等于Ev−图的斜率。选取两合适点，将E和v值带入上式，即可求出h。kk−19(2.71.05)10−×J34−1例如：h==6.6010Js×⋅14−1(8.506.00)10s−×14−1图中直线与横坐标的交点所代表的v即金属的临界频率v，由图可知，v=×4.3610s。00因此，金属钠的脱出功为：−−341141−19Wh==×⋅××v6.6010Js4.3610s=×2.88