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时间:2019-07-10
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1、结构化学习题解答---《结构化学基础》北京大学出版社第一章量子力学基础知识[1.3]金属钾的临阈频率为5.464×1014s-1,用它作光电池的阴极,当用波长为300nm的紫外光照射该电池时,发射的光电子的最大速度是多少?[解]第一章量子力学基础知识对一个运动速度(光速)的自由粒子,有人作了如下推导:式中,等号左边的物理量体现了粒性,等号右边的物理量体现了波性,而联系波性和粒性的纽带是Planck常数。根据上述两式及力学公式:[解]:微观粒子具有波性和粒性,两者的对立统一和相互制约可由下列关系式表达:结果得出的结论。错在何处?说明理由。知,1,2和4
2、三步都是正确的。微粒波的波长服从下式:[1.6]式中,是微粒的传播速度,它不等于微粒的运动速度,但3式中用了,显然是错的。在4式中,无疑是正确的,这里的E是微粒的总能量,但5式中仅仅是微粒的动能部分,两个能量是不等的,因此5式中也是错的(若将E视为动能,则5式对,4式错)。电视机显像管中运动的电子,假定加速电压为1000V,电子运动速度的不确定度△为速度的10%,判断电子的波性对荧光屏上成像有无影响?[解]:在给定加速电压下,由测不准关系所决定的电子坐标的不确定度为:这坐标不确定度对于电视机(即使目前世界上尺寸最小的袖珍电视机)荧光屏的大小来说,完全
3、可以忽略。人的眼睛分辨不出电子运动中的波性。因此,电子的波性对电视机荧光屏上成像无影响。[1.8]是算符的本征函数,求本征值。[解]:应用量子力学基本假设Ⅱ(算符)Ⅲ(本征函数,本征值和本征方程),得:因此,本征值为。[1.11]下列函数哪几个是算符的本征函数?若是,求出本征值。[解]:[1.12]是否为本征函数?若是,求出其本征值。[解]:[1.13]已知一维势箱中粒子的归一化波函数为:式中是势箱的长度,x是粒子的坐标(0﹤x﹤)。计算:(a)粒子的能量;(b)粒子坐标的平均值;(c)粒子动量的平均值。[1.15][解]:(a)由于已经有了箱中粒子
4、的归一化波函数,可采用下列两种方法计算粒子的能量:①将能量算符直接作用于波函数,所得常数即为粒子的能量:即将动量平方的算符作用于波函数,所得常数即为:即将此式代入粒子的能量表达式,得:若不知道粒子的波函数,则可采用下列两种方法求算能量:①解箱中粒子的Schrodinger方程,在求解过程中会自然得到与上述结果相同的能级表达式(参见周公度、段连云编著《结构化学基础》第二版,p27,北京大学出版社)。若只求粒子最低能量(零点能)的近似值,则亦可根据变分法的思路,选为变分函数,用式:进行计算,所得结果是上述能级表达式计算所得结果的1.0132倍。②根据受一
5、定势能场束缚的微粒所具有的量子效应和箱中粒子的边界条件,箱长应该等于半波长的整数倍,即:将此式代入deBroglie关系式,得:将此式代入粒子能量的一般表达式,得:可根据一维箱中粒子的能级表达式,分析En及△En随n,m及等的变化关系,从而加深对束缚态微观粒子的量子特征的理解。(b)由于无本征值,只能求粒子坐标的平均值:粒子的平均位置在势箱的中央,说明它在势箱左、右两个半边出现的几率各为0.5,即图形对势箱中心点是对称的。(c)由于无本征值.可按下式计算的平均值。一维势箱中粒子的归一化波函数为:式中是势箱的长度,x是粒子的坐标。(a)分别画出n=1和
6、n=2时粒子在势箱中的几率密度分布图;(b)计算粒子在区间出现的几率;(c)对照图形,讨论计算结果是否合理。[解]:(a)由上述表达式计算,并列表如下:01/81/41/33/81/200.2931.0001.5001.7262.00001.0002.0001.5001.00005/82/33/47/811.7261.5001.0000.29301.0001.5002.0001.0000根据表中所列数据作图示于图1.17中。(b)粒子在状态时,出现在间的几率为:粒子在状态时,出现在间的几率为:(c)计算结果与图形符合。
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