量子力学教程习题解答-(1)

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1、1.1由黑体辐射公式导出维恩位移定律：。证明：由普朗克黑体辐射公式：，及,得令，再由，得.所满足的超越方程为用图解法求得，即得，将数据代入求得1.2在0K附近，钠的价电子能量约为3eV,求deBroglie波长.解：1.3氦原子的动能为，求时氦原子的deBroglie波长。解：其中，1.4利用玻尔—索末菲量子化条件，求：（1）一维谐振子的能量。（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。已知外磁场，玻尔磁子，求动能的量子化间隔，并与及的热运动能量相比较。解：（1）方法1：谐振子的能量可以化为的平面运动，轨道为椭圆，两半轴分别为，相空间面积为所以，能量方法2：一维谐振子的运动方程为，其解为；

2、速度为；动量为；则相积分为，，（2）设磁场垂直于电子运动方向，受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。由，得再由量子化条件，以分别表示广义坐标和相应的广义动量，所以相积分为：，，由此得半径为，。电子的动能为动能间隔为热运动能量（因是平面运动，两个自由度）为，所以当时，；当时，。1.5两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两个光子的能量相等，问要实现这种转化，光子波长最大是多少？解：转化条件为，其中为电子的静止质量，而，所以即有：（电子的康普顿波长）。2.1证明在定态中，几率流与时间无关。证：对于定态，可令可见无关。2.2由下列定态波函数计算几率流密度：从所得结果说明表示向外传播的球面波，表示向

3、内(即向原点)传播的球面波。解：在球坐标中同向。表示向外传播的球面波。可见，反向。表示向内(即向原点)传播的球面波。2.3一粒子在一维势场中运动，求粒子的能级和对应的波函数。解：无关，是定态问题。其定态S—方程在各区域的具体形式为Ⅰ：①Ⅱ：②Ⅲ：③由于(1)、(3)方程中，由于，要等式成立，必须即粒子不能运动到势阱以外的地方去。方程(2)可变为令，得其解为④根据波函数的标准条件确定系数A，B，由连续性条件，得⑤⑥⑤　⑥　∴由归一化条件，得由可见E是量子化的。对应于的归一化的定态波函数为2.4证明（2.6-14）式中的归一化常数是证：由归一化，得∴归一化常数2.5求一维谐振子处在激发态时几率最

4、大的位置。解：令，得由的表达式可知，时，。显然不是最大几率的位置。，可见是所求几率最大的位置。2.6在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为①将式中的代换，得　　②利用，得③比较①、③式可知，都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。由于它们描写的是同一个状态，因此之间只能相差一个常数。方程①、③可相互进行空间反演而得其对方，由①经反演，可得③，④由③再经反演，可得①，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。　　　　　　　　⑤④乘⑤，得，可见，，所以当时，，具有偶宇称；当时，，具有奇宇称。当势场满足时，粒子的定态

5、波函数具有确定的宇称。2.7一粒子在一维势阱中运动，求束缚态()的能级所满足的方程。解：粒子所满足的S-方程为按势能的形式分区域的具体形式为Ⅰ：①Ⅱ：②Ⅲ：③整理后，得Ⅰ：④Ⅱ：⑤Ⅲ：⑥令则Ⅰ：⑦Ⅱ：⑧Ⅲ：⑨各方程的解为：由波函数的有限性，有因此由波函数的连续性，有整理(10)、(11)、(12)、(13)式，并合并成方程组，得解此方程即可得出B、C、D、F，进而得出波函数的具体形式，要方程组有非零解，必须∵∴即为所求束缚态能级所满足的方程。方法二：接（13）式另一解法：(11)-(13)(10)+(12)(11)+(13)(12)-(10)（b）kactgkk)10()12()13()11

6、(122-=Þ-+令则合并：利用方法三：平移坐标轴法Ⅰ：（χ≤0）Ⅱ：（0＜χ＜2）Ⅲ：（χ≥2）束缚态＜＜因此由波函数的连续性，有(7)代入(6)，得利用(4)、(5)，得2.8分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似表示为求束缚态的能级所满足的方程。解：势能曲线如图示，分成四个区域求解。定态S-方程为对各区域的具体形式为Ⅰ：Ⅱ：Ⅲ：Ⅳ：对于区域Ⅰ，，粒子不可能到达此区域，故而①②③对于束缚态来说，有∴④⑤⑥各方程的解分别为：由波函数的有限性，得∴由波函数及其一阶导数的连续，得∴⑦⑧⑨⑩由⑦、⑧得(11)由⑨、⑩得(12)令，则①式变为联立(12)、(13)得，要此方程组有非零解，必须把代

7、入即得此即为所要求的束缚态能级所满足的方程。附：从方程⑩之后也可以直接用行列式求解。见附页。此即为所求方程。3.1一维谐振子处在基态，求：(1)势能的平均值；(2)动能的平均值；(3)动量的几率分布函数。解：(1)（）(2)或(3)动量几率分布函数为：3.2.氢原子处在基态，求：(1)r的平均值；(2)势能的平均值；(3)最可几半径；(4)动能的平均值；(5)动量的几率分布函数。解：(1)（）(3)电子出现在