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1、第30卷第6期喀什师范学院学报V61.30No.62009年11月JournalofKashgarTeachers山11e罗Nov.2009Maxwen方程的四维张量形式及其协变性郭亮(喀什师范学院物理系,新疆喀什844007)摘要:在Minkowskj空间内,导出普遍情形下的Maxwel方程组的四维协变形式,并证明方程在Lorentz变换下具有协变性.关键词:张量;Maxwel方程;助rent:变换;协变性中图分类号:0442文献标识码:A文章编号:1006一432X200906一0043一03时空本质上是四维的,物理
2、量应是四维空间的A与标势甲统一为四维矢势A,.川点函数.四维空间的坐标系选取不同时,物理量的几=(J,i甲),值一般也不同,但狭义相对性原理要求表示物理定律的数学形式应在四维空间坐标变换下保持不变,A,一(,含*),因此只有将物理定律写为四维张量方程才能使得几和A,为四维矢量,其中标量p和中正好作为几方程形式在四维空间坐标变换下保持不变,从而符和A,的第四个分量.由于电磁场场量(E,B)有6合相对论的基本要求.本文将在Minkowski空间内个分量,显然不能构成四维矢量,但是可以想办法利用四维张量的运算规则,导出普遍情形下的
3、构成四维张量.根据电磁场场方程可知,电磁场量Maxwel方程组的四维协变形式,使方程在(E,B)可由电磁势(A,目表出,即Lorent:变换下具有协变性.B=甲xA,(5)1介质中的Maxwel方程组的微分形式介质中的Maxwell方程组可显式地写为:川!一,*一器写出式(5)的分量式,可得.了∀了∀.勺白1二xE=一翼dt.aA3aAZB一=axZax3∃aD甲XH=J+下于口IaA1aA3BZ=万了∀了.∀∀了声∀.,ax3axl∃(6)又7#D二P,内4J又7#B=0,aA2aAIB3=ax1axZ式(1)(2)(3)
4、(4)为介质中普适的电磁场基本方程,使用于任意介质.当磁化强度与极化强度为零时,在Minkowski空间内时空坐标表为x,一(二即M=P=0,则方程组回到真空情况下的ict),利用x;=ict可写出式(6)的分量式为Maxwell方程组.aA4aAIax1ax4∃2电磁场张taA4aAZ(7)电流是电荷的运动效应,而电荷电流是电磁势axZax4∃和电磁场的激发源.因此,有理由将电荷密度p与aA48A3ax3ax4电流密度矢量J统一为四维电流密度矢量吞,矢势收稿日期:2009一09一11作者简介:郭亮(1971一),男,副教授
5、,主要从事电磁理论教学与研究工作.喀什师范学院学报第30卷类比于B的各分量与三维矢势A的三维旋度的分巫哥业十旦气升十煞群业一J4量的关系,显然式(6)与式(7)将反映的是一止召和CB的各分量与四维矢势A,的四维旋度的各分量间(尝一尝卜旦篆业一Jl,的关系.根据张量的运算规则知四维矢量的四维旋度构成一个四维张量.(尝一尝,尸髻黔2一Jz,定义四维电磁场张量:(尝一尝,十旦芸丝一Ja.占二尸_一丛众,_丛众,一尸~,(11)其中p,,二1,2,3,4.该张量共有16个分量,电磁类比电磁场张量凡,的引人方式,可引人一个场量E和B可
6、由该张量的分量表出.电磁场张量四维张量,使得P和M由该张量的各分量表出.凡,是一个反对称张量,即定义四维极化一磁化张量岭%,具体表示出来就是M3cP凡卜=一F,,一MZ0Ml将电磁场张量爪写成矩阵形式则有一M3M=,寺%0#∀月.,.M2一M-00B3一BZ,舟人飞一icP一icPZ一icP3由于在一般情况下,介质在极化的同时伴随着一B30BIF一1.,.t.&磁化,它们一般是不能独立存在的,只有在静电场BZ一bi八UJ上或静磁场单独存在时两者才可分开考虑;理论上极一,压%化强度与磁化强度只是四维极化一磁化张量的各勺,翔2
7、飞CC分量,因此四维极化一磁化张量引人在理论研究中更有普适性.利用式(12)可将式(9)写为3四维极化一磁化张t旦生_;在时变电磁场的作用下,介质在极化的同时也8x,一产会伴随磁化,也就是说在时变电磁场的作用下介质此即为介质极化磁化的四维形式.中会出现极化电荷脚∀极化电流J,及磁化电流4介质中的Maxwell方程组的四维协变形而.根据电磁理论有:[3]式,!
8、∀l
9、石八P=一甲#P,根据电磁理论可知,在有介质存在时可引人两a尸(8)一at∃个辅助矢量(电位移矢量D和磁场强度H)来研究电磁场,它们的形式分别为:=7火M,式中
10、P为极化强度矢量,M为磁化强度矢量.D=%E+P,(13)内一B若令p=即,J=寿+JM,则式(8)可写为一(14)一M!一甲∃P一!∃电位移矢量D和磁场强度H也可组成四维张量.(9)卜x%+豁#J利用式(13)和(14)及电磁场张量凡%∀四维极化一磁化张量岭卜,根据张量的运算规则可构造一
