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《微积分吴迪光版答案chap 08 习题 解答(春季).pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第八章矢量代数空间解析几何题9(p48)◇【1】已知a、b是非零矢量，求它们的夹角平分线上的单位矢量eaa0000aa+bacAB0b0bbb『解』00如图，c=(a+b)/2,再将c单位化即可。#题11(p48)rrrrrr【2】已知
2、a
3、=11,
4、b
5、=7,
6、a−b
7、=18,求
8、a+b
9、『证明』rrrrrr因
10、a−b
11、=
12、a
13、+
14、b
15、，故a与−b同向，于是可设rrrr于是
16、a+b
17、＝
18、a
19、−
20、−b
21、＝4『注』或写为rrrrr−b＝7a，因此
22、a+b
23、＝(1−7)
24、a
25、=4#1111题14(p48)◇【3】用矢量方法证明：可作一三角形，使
26、它的各边分别平行且等于已知三角形的三条中线。『证明』CDEAFB只需证明这三条中线矢量首尾相接。即证rCF+BE+AD=0事实上，CF=CA+AF=CA+1AB,2BE=BC+CE=BC+1CA21AD=AB+BD=AB+1BC2再根据下式，便得结论rAB+BC+CA=0#题15(p48)rrrrrrrrrrr【4】设a,b不共线，c=λa+µb，且a,b,c有共同起点，则a,b,c终点在同一直线的充要条件为λ+µ=1『证明』rrrrr充分性。若λ+µ=1，则c=λa+µb＝λa+(1−λ)brrrrrrrrrrrrrr于是c−a=(1−λ
27、)(b−a)，因此c−a与b−a共线，即a,b,c有共同起点时，a,b,c终点在同一直线上。rrrrrrrrr必要性。此时由已知可知c−a与b−a共线，又b−a≠0(a,b不共线),于是有唯一的数k，使得rrrrrrrr(λ−1)a+µb＝k（b−a）或写为(λ−1)a+µb＝−kb+karr再次根据a,b不共线，因此(λ−1)=−k,µ=k，于是λ+µ=1#题16(p48)◇rvvrrr【5】在四面体OABC中，设OA=a,OB=b,OC=c,P为ΔABC内任一点，则OP=λa+µb+γc，且λ+µ+γ=1,『证1』OCDEPABF因P为
28、ΔABC内部一点，因此PA、PB、PC三矢量共面，即OA−OP,OB−OP,OC−OP三矢量共面，因此有不全为零的数k,l,m,使得rk(OA−OP)+l(OB−OP)+m(OC−OP)=0，或写为(k+l+m)OP=kOA+lOB+mOC，又(k+l+m)不为0（否则OA,OB,OC共面），于是OP=kOA+lOB+mOC，整理后即可得结论。k+l+mk+l+mk+l+m『证2』2OP=OA+AP，OP=OB+BP，OP=OC+CP于是OP=1(OA+OB+OC)+1(AP+BP+CP)33又BP=BA+AP，CP=CA+AP而AP因位于
29、三角形内，可被不共线的AB,AC唯一线性表示，即设有m,n,使得AP=mAB+nAC，于是OP=1(OA+OB+OC)+1(AP+BP+CP)33＝1(OA+OB+OC)+AP+1(BA+CA)33＝1(OA+OB+OC)+(mAB+nAC)+1(BA+CA)33rrrrrrrrrrr＝1(a+b+c)+(mb−ma+nc−na)+1(a−b+a−c)33rrr＝(1−m−n)a+mb+nc整理后即可得结论#题20(p49)【6】在第三卦限内求一点，使得它与x,y,z轴的距离为dx=5,dy=35,dz=213『证明』z0yx第三卦限内的点
30、满足x<0,y<0,z>0.又d=y2+z2=5,d=x2+z2=35,d=x2+y2=213xyz据此可求得x,y,z#题26(p49)◇rr【7】求一矢量，其方向和a={0,−3,4},b={1,−2,2}的角平分线平行，其模为5『解』r01r01a={0,−3,4}，b={1,−2,2}533rr角平分线平行矢量为,a0+b0，rr求m,使得
31、m(a0+b0)
32、=5即可得结论#题28(p49)0【8】一个矢量的三个方向角之和等于180吗,它们存在什么关系？『证明』不等。除了方向余弦平方和=1,其它没有关系。#题32(p49)【9】求以
33、A(1,0,2),B(0,-3,2),C(4,-1,6)为顶点的三角形的重心坐标『证明』设重心为P，由下式可求出P的坐标OP=1(OA+OB+OC)#3题34(p49)◇rrrorrrrrr【10】已知a,b,c两两成60角，且
34、a
35、=4,，
36、b
37、=2，
38、c
39、=6.求
40、a+b+c
41、『解』rrrrrrrrr
42、a+b+c
43、＝(a+b+c)⋅(a+b+c)r2r2r2rrrrrr＝
44、a
45、+
46、b
47、+
48、c
49、+2a⋅b+2c⋅b+2a⋅cr2r2r2rrorrorro＝
50、a
51、+
52、b
53、+
54、c
55、+2
56、a
57、
58、b
59、cos60+2
60、c
61、
62、b
63、cos60+2
64、a
65、
66、
67、c
68、cos60=…#题43(p50)★rrrrrrrrrr【11】矢量a,b,c具有相等的模，且两两所成的角相等。若a=i+j,b=j+k，求c『证明』rrrrrrr易知
69、c
70、
