微积分学 吴迪光 第十一章答案

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1、第十一章曲面积分题1(4)(p165)【1】求曲面指定部分的面积：三个半径为a的圆柱体相互垂直正交，对称轴交于一点，所得相贯立体2的全表面。[24(2－2)a]两个圆柱体相交的情况三个圆柱体相交的情况zzP(a,a,a)CC222222y=xx+z=aA(a,0,0)B(0,a,0)PBOPOyyC(0,0,a)Qx222AA+y=axx所求的曲面在第一卦限部分1/24部分及其在XOY平面的投影ax2+y2=a2x=2222三个圆柱体的交点为x+z=a，得第一卦限内的点y=a2222z+y=az=a2y

2、=z222222222222曲线AP的方程为x+z=a和x+y=a的交线，即。曲线CP的方程为x+z=a和y+z=ax2+z2=a2x=y的交线，即所以曲面APC为圆柱体被平面y=0,y=z,x=y所截得的部分。x2+z2=a2Oyπ4σQAx1/24部分在XOY平面的投影区域σ22222曲面APC的方程为x+z=a，或z=a−x，故1∂zx∂z＝－，＝0，∂x22∂ya−x曲面APC在xoy平面的投影区域为222πσ＝{(x,y)

3、x+y≤a，y≤x}＝{(r,θ)

4、0≤r≤a，0≤θ≤}4dS＝1+(∂z)2+(∂

5、z)2dσ＝adσ∂x∂ya2−x2整个表面积体现在8个卦限中，每一卦限又分为三个部分，因此整个表面积为S＝8×3dS＝24a1dσ∫∫S∫∫σa2−x2APCπaπ＝24a4dθ(1)rdr＝24a241−sinθdθ∫∫2−22θ∫2θ00arcos0cosππ241sinθ2412＝24a[−]dθ＝24ad(tanθ−)＝24(2－2)a∫cos2θ2θ∫cosθ0cos0另解：(用曲线积分)zaaQ(,,0)P(a,a,a)C22222A(a,0,0)x2+y2=a2B(0,a,0)PBAP:Oyz=yC(0,0,

6、a)AQxl222x+y=a所求的曲面在第一卦限部分S＝8×3dS＝48dS＝48ydl＝48ydl∫∫S∫∫S∫l∫x2+y2=a2APBAPQπ422＝48ydl＝48asinθ⋅adθ＝48a(1−)#∫x2+y2=a2∫02题3(2)(p165)22211【2】在球面x+y+z=1上取以A(1,0,0),B(0,1,0),C(,0,)三点为顶点的球面三角形，设2222π球面密度为µ＝x+z，求此球面三角形的质量。[]6『解1』用直角坐标法，转化为二重积分。2zx2+y2+z2=1,x=yzC1S0Bx2+y2=1y2y2=1,

7、z=0222x+2x+y=1σ=0σ2=1,zx2+y0x1Ax此球面三角形的质量M=∫∫µdS=∫∫(,x2+z2)dSSS下面求出S的表达式及在xoy平面的投影区域。显然，C,O,B确定的平面为z=x,因此于圆弧BC(球面三角形的三边之一)的方程为x2+y2+z2=12x2+y2=12x2+y2=1或写为，在xoy平面上的投影曲线为x=zx=zz=0于是S为球面z=1−x2−y2的一部分，其在xoy平面的投影区域为σ＝{(x,y)

8、11−y2≤x≤1−y2,0≤y≤1}。于是21−y2M=µdS=(x

9、2+z2)dS＝∫∫dσ∫∫S∫∫Sσ221−x−y11−y221−y＝dydx∫∫122201−y1−x−y2211−y1＝(1−y2)dxdy∫∫011−y22221−x−y111＝(1−y2)dtdy(令x=1−y2t)∫∫101−t2211π1ππ＝(1−y2)arcsintdy＝(1−y2)dy＝(1−1)＝∫14∫436002『解2』用直角坐标法，转化为二重积分。3zx2+y2+z2=1,z=zxC1S0Bx2+z2=1yσσx01Ax此球面三角形的质量x2+z2M=

10、µdS=(x2+z2)dS＝∫∫dσ∫∫S∫∫Sσ221−x−zπ1r2＝∫4dθ∫rdr001−r2π＝6『解3』用球面坐标法，转化为关于ϕ和θ的累次积分。ztanϕcosθ=1Cϕ11Sϕ1=arctancosθπ0ϕ2Bϕ2=2θyAxS＝{(}ϕ,θ)

11、arctan1≤ϕ≤1π,0≤θ≤1π,cosθ22dS＝ρ2sinϕdϕdθ＝sinϕdϕdθ此球面三角形的质量M=∫∫µdS=∫∫(=x2+z2)dS∫∫(1−y2)dSSSSππ=2dθ2(1−sin2ϕsin2θ)sinϕdϕ∫∫10arctancosθ4ππ=−2dθ

12、2[1−(1−cos2ϕ)sin2θ]dcosϕ∫∫10arctancosθππ=−2dθ2[(1−sin2θ)+cos2ϕsin2θ]dcosϕ∫∫10arctancosθπ2211231=∫[(1−sinθ)cosa