能带计算与对称性.pdf

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1、第五章能带理论固体电子论基础1.周期场中单电子状态的一般特征2.一维和三维周期场中电子运动的近自由电子近似3.紧束缚近似(TBA)4.克勒尼希-彭尼(Kronig-Penny)模型5.能带结构的计算方法6.晶体能带的对称性7.能态密度和费米面5.5能带结构的计算方法NFE和TBA用于计算可以与实验结果比较的实际能带是太粗糙了。已经发展了许多计算实际晶体能带的模型和方法，这些方法既需要比较深的量子力学基础，又需要大量繁琐的数学运算。近代的能带计算多使用大型计算机，采用建立在密度泛函理论基础上的局域密度近似，但早期的几个模

2、型均可用来做密度泛函计算，所以这里我们简要的定性地介绍一些曾获得一定成功的模型和方法。参见：阎守胜《固体物理基础》3.4节;李正中《固体理论》7章;Ashcroft《SolidStatePhysics》11章冯端《凝聚态物理学》上册12章Kittel9.3节一.原胞法(CellularMethod)Wigner-Seitz1933二.缀加平面波法(AugmentedPlaneWaveMethod)Slater1937三.格林函数法(Korring1947,KohnRostoker1954)四.正交平面波法(Orthog

3、onalizedPlaneWaveMethod)Herring1940五.赝势法(Pseudopotentials)Harrison1966六.密度泛函理论(Thedensity-functiontheory)Wolterkohn1960’一.原胞法(CellularMethod)这是能带计算最早使用的方法，1933年由Wigner和Seitz引入。它曾成功地用于碱金属，特别是Na和K。第一章中使用的维格纳-赛兹原胞就是此时提出的。例如金属Na具有bcc结构，它的W-S原胞是一个截角八面体，离子在其中心位置。现在假定电

4、子处在A原胞中，求解运动方程时，可以认为它只受到此原胞中离子势场的影响，其它原胞中离子势场对A原胞中电子的影响可以忽略不计。22UrkkrEkr2m只要求出一个原胞中的波函数就可以把整个晶体的问题解决了（平均地说，每个原胞都被一个传导电子所占据，这些电子往往有屏蔽离子的作用，从而强烈地消弱了离子势场。）原胞法示意图ra00ikr根据Bloch定理，方程的解为：kkreur其中表征周期部分的函数u(r)应该在原胞的两个对称点上例如p和p点上取值相同。为了方便地处

5、理周期性的要求，12Wigner和Seitz用相同体积的WS球代替实际原胞，原胞内的势场也看成球对称的，因而可以数值求解，在k＝0点得到的波函数0r划在图中。在带底附近，k的另外一些点，波函数近似表示为：1ikrek0V22同样也可求出E0,和EkkkVr2mWigner和Seitz用这种方法得到的能量去计算简单金属的结合能，其结果令人满意地与实验一致。这是原胞法求出的0曲线（实线），可以看出波函数在离子实内是振荡的，而一旦离开离子实部分，就基本是常数。波函数的这个常数部分几乎占原胞

6、体积的90%，因此在晶体中波函数基本是一个平面波。电子在晶体中的运动基本是自由的，所以Na的导电电子是自由电子。0和原子波函数（虚线）相比，变平是由于加上边界条件产生的，而不是离子势场有什么特殊的性质，这个结果对以后的能带计算有启示。实际势函数近似势的等能面原胞法的球形近似，所得结果仅与原子体积有关，完全忽略了实际晶体结构的影响，实在过于简单。而使用实际的复杂的原胞形状，又给计算带来难以克服的困难，所以近来已经很少使用，改用下面几种方法。二.缀加平面波法(AugmentedPlaneWaveMethod)1937年S

7、later从原胞法结果中发现晶体离子之间的广大区域里，晶体势几乎没有变化，因此采用了一种特殊的势重新求解。“muffin-tin”(糕模势)在离子实处就是自由离子势，在离子实外面严格是一个常数。因此波函数为在rr时是平面波：01ikre,kV而在rr时，为原子波函数。r是离子实半径。后者可以通过求解自00由原子的薛定谔方程得到，边界条件是在离子实的表面r处和平面波连0续衔接。上面给出的函数，可能不满足Bloch定理，但可以通过线性组合来弥补：kakGkG,G“Themuffin-tin”势的描述：这

8、里的求和遍及所有倒格矢，由于收敛很快，求和只要四、五项或者更少即能满足要求的精度。系数akG由能量最小值所要求的k来确定。用APW法计算金属能带结构是完善的，曾被大量使用并取得丰富成果。因为它采取的势简洁而自然，完全体现出晶体势的本质特征。缀加平面波法的结果APW方法计算出的铁、铜、锌能带图三.格林函数法(Green’sfun