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时间:2020-04-12
《(新课标)高中数学《1.3.2函数的极值与导数》评估训练 新人教A版选修2-2.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1.3.2 函数的极值与导数1.下列函数存在极值的是( ).A.y=B.y=x-exC.y=x3+x2+2x-3D.y=x3解析 A中f′(x)=-,令f′(x)=0无解,且f(x)为双曲函数,∴A中函数无极值.B中f′(x)=1-ex,令f′(x)=0可得x=0.当x<0时,f′(x)>0;当x>0时,f′(x)<0.∴y=f(x)在x=0处取极大值,f(0)=-1.C中f′(x)=3x2+2x+2,Δ=4-24=-20<0.∴y=f(x)无极值,D也无极值.故选B.答案 B2.函数y=1+3x-x3有( ).A.极小值-1,极大值1B.极小值-2,极大值3C.极小值-2,极大值2D.
2、极小值-1,极大值3解析 f′(x)=-3x2+3,由f′(x)=0可得x1=1,x2=-1.由极值的判定方法知f(x)的极大值为f(1)=3,极小值为f(-1)=1-3+1=-1,故选D.答案 D3.函数f(x)的定义域为R,导函数f′(x)的图象如图所示,则函数f(x)( ).A.无极大值点,有四个极小值点B.有三个极大值点,两个极小值点C.有两个极大值点,两个极小值点D.有四个极大值点,无极小值点解析 f′(x)的符号由正变负,则f(x0)是极大值,f′(x)的符号由负变正,则f(x0)是极小值,由图象易知有两个极大值点,两个极小值点.答案 C4.设方程x3-3x=k有3个不等的实根
3、,则常数k的取值范围是________.解析 设f(x)=x3-3x-k,则f′(x)=3x2-3.令f′(x)=0得x=±1,且f(1)=-2--4-k,f(-1)=2-k,又f(x)的图象与x轴有3个交点,故∴-24、2xe-x+x2·e-x·(-x)′=2xe-x-x2·e-x=x(2-x)e-x.令f′(x)=0,即x(2-x)·e-x=0;得x=0或x=2.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,0)0(0,2)2(2,+∞)f′(x)-0+0-f(x)极小值0极大值4e-2因此,当x=0时,f(x)有极小值,并且极小值为f(0)=0;当x=2时,f(x)有极大值,并且极大值为f(2)=4e-2=.7.函数f(x)=2x3-6x2-18x+7( ).A.在x=-1处取得极大值17,在x=3处取得极小值-47B.在x=-1处取得极小值17,在x=3处取得极大值-47C.在x=-5、1处取得极小值-17,在x=3处取得极大值47D.以上都不对解析 f′(x)=6x2-12x-18,令f′(x)=0,解得x1=-1,x2=3.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,-1)-1(-1,3)3(3,+∞)f′(x)+0-0+f(x)极大值极小值∴当x=-1时,f(x)取得极大值,f(-1)=17;当x=3时,f(x)取得极小值,f-4-(3)=-47.答案 A8.三次函数当x=1时有极大值4,当x=3时有极小值0,且函数过原点,则此函数是( ).A.y=x3+6x2+9xB.y=x3-6x2+9xC.y=x3-6x2-9xD.y=x3+6x2-9x6、解析 三次函数过原点,可设f(x)=x3+bx2+cx,则f′(x)=3x2+2bx+c.由题设有解得b=-6,c=9.∴f(x)=x3-6x2+9x,f′(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3).当x=1时,函数f(x)取得极大值4,当x=3时,函数取得极小值0,满足条件.答案 B9.函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3既有极大值又有极小值,则实数a的取值范围是________.解析 ∵f′(x)=3x2+6ax+3(a+2),令3x2+6ax+3(a+2)=0,即x2+2ax+a+2=0,∵函数f(x)有极大值和极小值,∴方程x2+2ax+a+2=0有两个不相等的实7、数根,即Δ=4a2-4a-8>0,解得a>2或a<-1.答案 (-∞,-1)∪(2,+∞)10.函数y=x3-6x+a的极大值为________,极小值为________.解析 ∵y′=3x2-6,令y′=0,得x=±,当x<-或x>时,y′>0;当-<x<时,y′<0,∴函数在x=-时取得极大值a+4,在x=时取得极小值a-4.答案 a+4 a-411.已知函数y=ax3+bx2,当x=1时函数有极大值3,
4、2xe-x+x2·e-x·(-x)′=2xe-x-x2·e-x=x(2-x)e-x.令f′(x)=0,即x(2-x)·e-x=0;得x=0或x=2.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,0)0(0,2)2(2,+∞)f′(x)-0+0-f(x)极小值0极大值4e-2因此,当x=0时,f(x)有极小值,并且极小值为f(0)=0;当x=2时,f(x)有极大值,并且极大值为f(2)=4e-2=.7.函数f(x)=2x3-6x2-18x+7( ).A.在x=-1处取得极大值17,在x=3处取得极小值-47B.在x=-1处取得极小值17,在x=3处取得极大值-47C.在x=-
5、1处取得极小值-17,在x=3处取得极大值47D.以上都不对解析 f′(x)=6x2-12x-18,令f′(x)=0,解得x1=-1,x2=3.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,-1)-1(-1,3)3(3,+∞)f′(x)+0-0+f(x)极大值极小值∴当x=-1时,f(x)取得极大值,f(-1)=17;当x=3时,f(x)取得极小值,f-4-(3)=-47.答案 A8.三次函数当x=1时有极大值4,当x=3时有极小值0,且函数过原点,则此函数是( ).A.y=x3+6x2+9xB.y=x3-6x2+9xC.y=x3-6x2-9xD.y=x3+6x2-9x
6、解析 三次函数过原点,可设f(x)=x3+bx2+cx,则f′(x)=3x2+2bx+c.由题设有解得b=-6,c=9.∴f(x)=x3-6x2+9x,f′(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3).当x=1时,函数f(x)取得极大值4,当x=3时,函数取得极小值0,满足条件.答案 B9.函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3既有极大值又有极小值,则实数a的取值范围是________.解析 ∵f′(x)=3x2+6ax+3(a+2),令3x2+6ax+3(a+2)=0,即x2+2ax+a+2=0,∵函数f(x)有极大值和极小值,∴方程x2+2ax+a+2=0有两个不相等的实
7、数根,即Δ=4a2-4a-8>0,解得a>2或a<-1.答案 (-∞,-1)∪(2,+∞)10.函数y=x3-6x+a的极大值为________,极小值为________.解析 ∵y′=3x2-6,令y′=0,得x=±,当x<-或x>时,y′>0;当-<x<时,y′<0,∴函数在x=-时取得极大值a+4,在x=时取得极小值a-4.答案 a+4 a-411.已知函数y=ax3+bx2,当x=1时函数有极大值3,
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