第二节 平面简谐波的波动方程

第二节 平面简谐波的波动方程

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时间:2017-11-09

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1、机械波振动在空间的传播过程叫做波动波动的形式是多种多样的,一般可分为:机械波:机械振动在弹性介质中的传播。电磁波:电磁振动在空间的传播。物质波:运动物体伴随的波动。各种类型的波有其特殊性,例如:声波需要介质才能传播,电磁波却可在真空中传播,至于光波有时可以直接把它看作粒子—光子的运动,但各种类型的波也有普遍的共性。弹性介质和波源——(机械波产生的条件)纵波和横波:(1)质元并未“随波逐流”波的传播不是媒质质元的传播(2)“上游”的质元依次带动“下游”的质元振动(3)某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻于“下游”某处出现--

2、-波是振动状态的传播波长、频率、和波速之间的关系平面简谐波的波函数一、波函数(定量描述波在空间的传播)数学函数式表示介质中质点的振动状态随时间变化的关系.二、平面简谐波的波函数平面简谐波:波面为平面的简谐波.xy平面简谐波传播时,介质中各质点都作同一频率的简谐振动,在任一时刻,各点的振动相位一般不同,它们的位移也不相同。据波阵面的定义可知,任一时刻在同一波阵面上的各点有相同的相位,它们离开各自的平衡位置有相同的位移。typO点处质点的振动表达式为:P处质点在时刻t的位移为:波动表式:描述介质中各质点的位移随时间的变化关系

3、.P处质点在时刻t的位移为:因此,波线上任一点在任一时刻的位移都能由上式给出。此即所求的沿x轴正方向前进的平面简谐波的波函数。波函数沿x轴负方向传播的平面简谐波的波函数:沿x轴正方向传播沿x轴负方向传播P点落后o点P点超前o点时间时间波函数为:上述过程给出了一个写出简谐波方程的步骤:⑴已知某点的振动方程(不一定是波源)⑵根据波的传播方向,判断各点振动的先后次序,找出时间差(>0)⑶将时间差代入已知振动方程,即可得波动方程:(P先振)(P后振)波函数其它形式角波数:表示单位长度上波的相位变化利用关系式,得和波动表式的

4、意义:上式代表x1处质点在其平衡位置附近以角频率w作简谐运动。即x一定:令x=x1,则质点位移y仅是时间t的函数。即以y为纵坐标、x为横坐标,得到一条余弦曲线,它是t1时刻波线上各个质点偏离各自平衡位置的位移所构成的波形曲线(波形图)。t一定:令t=t1,则质点位移y仅是x的函数。沿波线方向,任意两点x1、x2的简谐运动相位差为:x、t都变化:实线:t1时刻波形;虚线:t2时刻波形当t=t1时,当t2=t1+Δt时,在t1和t1+Δt时刻,对应的质点平衡位置用x1和x2表示,则令,得在Δt时间内,整个波形向波的传播方向移

5、动了,波速u是整个波形向前传播的速度。例1频率为的平面余弦波沿细长的金属棒传播,波速为如以棒上某点取为坐标原点,已知原点处质点振动的振幅为试求:(1)原点处质点的振动表达式;(2)波函数(向右传播);(3)离原点10cm处质点的振动表达式;(4)离原点20cm和30cm处质点的振动相位差;(5)在原点振动0.0021s时的波形;解:由题意波长周期(1)原点处质点的振动表达式(2)波函数(3)原点10cm处质点的振动表达式(4)两点间距离相位差y(5)时的波形y例2一横波沿一弦线传播。设已知t=0时的波形曲线如下图中的虚线

6、所示。波速u为12m/s,求(1)振幅;(2)波长;(3)波的周期;(4)弦上任一质点的最大速率;(5)图中a、b两点的相位差;(6)3T/4时的波形曲线.(a、b两点的对应的横坐标分别为15和35cm)t=0解:由波形曲线图可看出:(2)=40cm;(1)A=0.5cm;(3)波的周期t=0(4)质点的最大速率(5)a、b两点相隔半个波长,b点处质点比a点处质点的相位落后。(6)3T/4时的波形如下图中实线所示,波峰M1和M2已分别右移而到达和处。t=3T/4例3:如图是一平面余弦横波在时刻t=0的波形。此波形以v

7、=0.08m/s的速度沿ox轴正向传播。求:(1)a、b两点振动方向;(2)O点振动方程;(3)波动表式解:⑴由于波沿x正向传播,因此任意时刻任意点都将重复其前的点(图中左侧点)的振动,由此可知:这个问题也可以由下一时刻的波形曲线得到,如左图黄线示,而且比较直观。此外:a点将向下振动;b点将向上振动。⑵由已知图可得:⑶至此可写出波动方程为:{例4:一列沿ox正向传播的简谐波,在时刻t1=0,t2=0.25s的两个波形如图所示。求:(1)P的振动表达式,(2)此波的波动表式,(3)画出O点的振动曲线。解:⑴由已知图分析可得

8、:当t=0时,对P点有:⑵任意位置x与P点的距离为(x-OP)由图可知:⑶当t=0时,O点有:(或不判断初相而直接由原图分析)则有O点振动曲线如下:例5:平面简谐波某时刻波形如图。求:OP点距离。设此波向右传播解:由图易得:波向右传播,则得图示时刻有(见下图):O:P:设波表达式可知:对同一时刻O、P两点位相差为:平

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