第二节 平面简谐波的波动方程

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1、机械波振动在空间的传播过程叫做波动波动的形式是多种多样的，一般可分为：机械波：机械振动在弹性介质中的传播。电磁波：电磁振动在空间的传播。物质波：运动物体伴随的波动。各种类型的波有其特殊性，例如:声波需要介质才能传播，电磁波却可在真空中传播，至于光波有时可以直接把它看作粒子—光子的运动，但各种类型的波也有普遍的共性。弹性介质和波源——（机械波产生的条件）纵波和横波：(1)质元并未“随波逐流”波的传播不是媒质质元的传播(2)“上游”的质元依次带动“下游”的质元振动(3)某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻于“下游”某处出现--

2、-波是振动状态的传播波长、频率、和波速之间的关系平面简谐波的波函数一、波函数（定量描述波在空间的传播）数学函数式表示介质中质点的振动状态随时间变化的关系.二、平面简谐波的波函数平面简谐波：波面为平面的简谐波.xy平面简谐波传播时，介质中各质点都作同一频率的简谐振动，在任一时刻，各点的振动相位一般不同，它们的位移也不相同。据波阵面的定义可知，任一时刻在同一波阵面上的各点有相同的相位，它们离开各自的平衡位置有相同的位移。typO点处质点的振动表达式为：P处质点在时刻t的位移为：波动表式：描述介质中各质点的位移随时间的变化关系

3、.P处质点在时刻t的位移为：因此，波线上任一点在任一时刻的位移都能由上式给出。此即所求的沿x轴正方向前进的平面简谐波的波函数。波函数沿x轴负方向传播的平面简谐波的波函数：沿x轴正方向传播沿x轴负方向传播P点落后o点P点超前o点时间时间波函数为：上述过程给出了一个写出简谐波方程的步骤：⑴已知某点的振动方程（不一定是波源）⑵根据波的传播方向，判断各点振动的先后次序,找出时间差(>0)⑶将时间差代入已知振动方程，即可得波动方程：(P先振)(P后振)波函数其它形式角波数：表示单位长度上波的相位变化利用关系式，得和波动表式的

4、意义：上式代表x1处质点在其平衡位置附近以角频率w作简谐运动。即x一定：令x=x1，则质点位移y仅是时间t的函数。即以y为纵坐标、x为横坐标，得到一条余弦曲线，它是t1时刻波线上各个质点偏离各自平衡位置的位移所构成的波形曲线(波形图)。t一定:令t=t1，则质点位移y仅是x的函数。沿波线方向，任意两点x1、x2的简谐运动相位差为：x、t都变化:实线：t1时刻波形；虚线：t2时刻波形当t=t1时，当t2=t1+Δt时，在t1和t1+Δt时刻，对应的质点平衡位置用x1和x2表示，则令，得在Δt时间内,整个波形向波的传播方向移

5、动了，波速u是整个波形向前传播的速度。例1频率为的平面余弦波沿细长的金属棒传播，波速为如以棒上某点取为坐标原点，已知原点处质点振动的振幅为试求：（1）原点处质点的振动表达式；（2）波函数（向右传播）；（3）离原点10cm处质点的振动表达式；（4）离原点20cm和30cm处质点的振动相位差；（5）在原点振动0.0021s时的波形；解：由题意波长周期（1）原点处质点的振动表达式（2）波函数（3）原点10cm处质点的振动表达式（4）两点间距离相位差y（5）时的波形y例2一横波沿一弦线传播。设已知t=0时的波形曲线如下图中的虚线

6、所示。波速u为12m/s，求(1)振幅；(2)波长；(3)波的周期；(4)弦上任一质点的最大速率；(5)图中a、b两点的相位差；(6)3T/4时的波形曲线.（a、b两点的对应的横坐标分别为15和35cm）t=0解:由波形曲线图可看出：(2)=40cm；(1)A=0.5cm；(3)波的周期t=0(4)质点的最大速率(5)a、b两点相隔半个波长，b点处质点比a点处质点的相位落后。(6)3T/4时的波形如下图中实线所示，波峰M1和M2已分别右移而到达和处。t=3T/4例3：如图是一平面余弦横波在时刻t=0的波形。此波形以v

7、=0.08m/s的速度沿ox轴正向传播。求：(1)a、b两点振动方向;(2)O点振动方程;(3)波动表式解：⑴由于波沿x正向传播，因此任意时刻任意点都将重复其前的点（图中左侧点）的振动，由此可知：这个问题也可以由下一时刻的波形曲线得到，如左图黄线示，而且比较直观。此外：a点将向下振动；b点将向上振动。⑵由已知图可得：⑶至此可写出波动方程为：｛例4：一列沿ox正向传播的简谐波，在时刻t1=0,t2=0.25s的两个波形如图所示。求：(1)P的振动表达式，(2)此波的波动表式，(3)画出O点的振动曲线。解：⑴由已知图分析可得

8、：当t=0时,对P点有：⑵任意位置x与P点的距离为(x-OP)由图可知：⑶当t=0时，O点有：（或不判断初相而直接由原图分析）则有O点振动曲线如下:例5：平面简谐波某时刻波形如图。求：OP点距离。设此波向右传播解：由图易得：波向右传播，则得图示时刻有（见下图）：O:P:设波表达式可知：对同一时刻O、P两点位相差为：平