第二章2_控制系统的数学模型

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1、第2章控制系统的数学模型教学重点⑴简单物理系统的微分方程和传递函数的列写及计算；⑵非线性模型的线性化方法；⑶方块图和信号流图的变换与化简；⑷开环传递函数与闭环传递函数的推导和计算。教学难点动态微分方程的编写，传递函数求解，系统动态结构图变换，信号流图。控制系统的数学模型是描述系统内部物理量之间关系的数学表达式，它是在系统分析和设计中首先要做的工作。数学模型有多种形式，常用的有:微分方程（连续系统）、差分方程（离散系统）及状态方程等。本章主要研究:微分方程、传递函数、系统方框图和信号流图等。2.1系统的微分方程本节着重研究描述线性、定常、集中参数控制系统微分方程的建立和

2、求解方法。为了说明线性元件微分方程的建立过程，我们以几个例子加以说明。例2-1列写RC电路微分方程，如图2-1所示。图2-1RC电路系统解（1）确定输入、输出量为、。（2）根据电路原理列写微分方程（3）消去中间变量，可得电路微分方程例2-2列写电枢控制的他励直流电动机的微分方程，如图2-2所示。图2-2他励直流电动机解（1）确定输入、输出量为、。（2）根据电路原理列微分方程根据电动机力矩平衡原理列微分方程（3）消去中间变量，可得电路微分方程令,则得例2-3列出具有质量-弹簧-阻尼器的机械位移系统的微分方程，如图2-3所示。图2-3质量-弹簧-阻尼系统解（1）确定输入、

3、输出量为、。（2）根据力学、运动学原理列微分方程（3）消去中间变量，可得电路微分方程例2-4列写直流调速系统的微分方程，如图2-4所示。图2-4直流调速系统解（1）确定输入、输出量为、。（2）根据电路、电动机力矩平衡原理列微分方程（3）消去中间变量，得直流调速系统的动态微分方程式中，为正向通道电压放大系数，;为系统开环放大系数，　　　　。通过以上例子，可以归纳出列写微分方程的一般步骤：全面分析系统的结构组成及工作原理，确定系统的输入、输出变量。从输入端开始，按信号传递遵循的有关规律列出各元器件的微分方程。将所有微分方程联立起来，消去中间变量，求得一个仅含系统的输入、输

4、出变量的微分方程。整理方程，使得与输入有关的项在方程的右边，与输出有关的项在方程的左边，且各导数项按降幂排列。注：如果在第(3)步结束时已经得到符合第(4)步要求的微分方程，则无须第(4)步。引言：传递函数是在拉氏变换基础上引申出来的复数域数学模型。传递函数不仅可以表征系统的动态特性，而且可以用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。经典控制理论中广泛应用的根轨迹法和频域法，就是以传递函数为基础建立起来的。因此，传递函数是经典控制理论中最基本也是最重要的数学模型。2.2传递函数2.2.1传递函数的定义传递函数是指在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换与输入量

5、的拉氏变换之比。线性定常系统的微分方程一般可写为(2-1)在零初始条件下对式(2-1)两端进行拉氏变换，可得相应的代数方程系统的传递函数为(2-2)传递函数是在零初始条件下定义的。零初始条件有两方面含义：一是指输入是在以后才作用于系统，因此，系统输入量及其各阶导数在时均为零；二是指输入作用于系统之前，系统是“相对静止”的，即系统输出量及各阶导数在时的值也为零。例2-5试求如图2-5所示RLC无源网络的传递函数。图2-5RLC无源网络解RLC无源网络的微分方程为在零初始条件下，对上式两端进行拉氏变换，并整理得到其传递函数例2-6求图2-3中机械系统的传递函数。解由例2-

6、3可得系统的动态微分方程为在零初始条件下，对上式两端进行拉氏变换，整理得到传递函数2.2.2传递函数的性质传递函数是复变量s的有理真分式函数，具有复变函数的所有性质，n≥m且所有系数均为实数。传递函数只取决于系统的结构参数，与外作用及初始条件无关。传递函数与微分方程有直接联系。传递函数的拉氏变换是脉冲响应。传递函数与S平面上的零点、极点分布图相对应。传递函数的零点和极点零点：传递函数中分子多项式为零的值称为传递函数的零点，通常用Zi表示，在复平面坐标中用“0”表示。极点：传递函数中分母多项式为零的值，称为传递函数的极点，通常用Pj表示，在复平面坐标中用“X”表示。零、

7、极点可以是实数、复数（若为复数则共轭成对出现），在复平面上总能找到相对应的一点，故系统的传递函数与复平面有相应的对应关系。因此在传递函数分子多项式和分母多项式互质时，传递函数的零、极点分布图也表征了系统的动态性能。2.2.3典型环节及其传递函数在控制系统的分析中，常常将一个系统分解成若干典型环节；或是在系统设计中，在系统某处增加若干环节。所谓典型环节就是构成系统的一些基本要素，它们在系统分析和设计中起着重要作用。1.比例环节又称为放大环节，其输出量以一定比例不失真也无时间滞后地复现输入信号。输入量与输出量之间的表达式为其传递函数为图2-6比例环节图2