第6节 一阶和二阶常系数线性差分方程

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1、6/11/20211:23AM*§7.6一阶和二阶常系数线性差分方程1.一阶常系数线性差分方程2.二阶常系数线性差分方程6/11/20211:23AM1.一阶常系数线性差分方程第7章微分方程与差分方程的方程称为一阶常系数线性差分方程。形如为已知函数，其中为未知函数，当时，方程（1）称为非齐次的；当时，方程（1）称为齐次的。6/11/20211:23AM一阶常系数线性差分方程的解法第7章微分方程与差分方程1）齐次方程　　　　　　　　　　　的解法设　已知，中得这种解法称为迭代法。将　　　　　依次代人一般地，可以验证，满足差分方程，因此是差分方程的解6/11/2

2、0211:23AM第7章微分方程与差分方程2）一般解法即若　是方程（1）的一个特解，它与方程（1）相减得由前面知，令　　　　　　，即　是对应齐次方程的解，也是齐次方程的解6/11/20211:23AM第7章微分方程与差分方程而　是非齐次方程的一个特解，因此是是齐次方程的通解，故　　　是由通解的定义知，非齐次方程的解，而且含有任意常数，非齐次方程（1）的通解。非齐次方程通解齐次方程的通解非齐次方程的特解6/11/20211:23AM第7章微分方程与差分方程代人方程中得特解，设　　　　　　是此方程的一个特解，称为特征方程，因此　　　　　　　　　　是它的通解首先

3、求齐次方程　　　　　　的通解其根称为特征根，故　　　是此齐次方程的一个6/11/20211:23AM第7章微分方程与差分方程方程转化为再求非齐次方程　　　　　　　的特解代人方程得利用迭代法设给定初值　，依次将6/11/20211:23AM第7章微分方程与差分方程因此猜想方程的解为当　　时，当　　时，可以验证在这两种情况下　均为方程的解。6/11/20211:23AM第7章微分方程与差分方程的特解。当　　时，利用待定系数法设方程具有　　　形式取　　，代人方程得所以方程的特解为又因对应的齐次方程的通解为故此方程的通解为6/11/20211:23AM第7章微分方

4、程与差分方程当　　时，取　　，对应的齐次方程的通解为　　　，通解为将　　　代人方程得此时方程的特解为　　　，而当　　时，故此方程的6/11/20211:23AM第7章微分方程与差分方程例1求差分方程　　　　　　的通解解代人　　　式得通解由题意6/11/20211:23AM第7章微分方程与差分方程的特解方程转化为利用待定系数法设方程具有形如当　　时，取　　，即　　　，代人方程得于是6/11/20211:23AM第7章微分方程与差分方程当　　时，通解为当　　时，通解为取　　，取　　，（自己推出）6/11/20211:23AM第7章微分方程与差分方程例2求差分方

5、程　　　　　　　的通解解代人　　　式得通解由题意6/11/20211:23AM第7章微分方程与差分方程的特解。方程转化为设方程具有形如当　　时，取　　，代人方程，得到方程的特解。将比较同次系数，确定出对于　　是一般的　次多项式的情况可类似求解。6/11/20211:23AM第7章微分方程与差分方程当　　时，取　　，此时将代人方程，得到方程的特解。比较同次系数，确定出这种情况下，方程的左端为方程为　　　　，可将　化成　　的形式求出它的一个特解。6/11/20211:23AM第7章微分方程与差分方程例3求差分方程　　　　　　的通解解比较系数得设　　　　　　　　

6、，代人原方程原方程的特解为对应齐次方程的通解为　　，故原方程的通解6/11/20211:23AM第7章微分方程与差分方程例4求差分方程　　　　　　的通解解而方程转化为通解为故所以6/11/20211:23AM第7章微分方程与差分方程例5在农业生产中，种植先于产出及产品的出售一个适当的时期，时期该产品的价格　决定着生产者在下一时期愿意在市场上提供的产量　　，还决定着本期该产品的需求量　，因此有求价格随时间变化的规律。6/11/20211:23AM第7章微分方程与差分方程解假设在每一时期中价格总是确定在市场出清的水平上，即　　　，得差分方程因此得到由于所以　　

7、　，故方程是形如（2）的方程，按　　　求解。6/11/20211:23AM第7章微分方程与差分方程于是，对应的齐次方程的通解为　　　，当　　时，通解为方程的特解为所求问题的（初始价格），代人通解得则满足初始条件的特解为6/11/20211:23AM2.二阶常系数线性差分方程第7章微分方程与差分方程的差分方程称为二阶常系数线性差分方程。形如当　　　　时，方程（4）称为非齐次的；当　　　　时，称其为方程（4）对应的齐次方程。方程6/11/20211:23AM二阶常系数线性差分方程的通解第7章微分方程与差分方程=对应的齐次方程的通解+非齐次方程的特解1）二阶常系

8、数线性齐次差分方程的通解设　　　　　　为一特解，（5）得代人方程称