等差幂线定理的多种变式及其应用

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1、5—2o数学教学2015年第5期等差幂线定理的多种变式及其应用450001河南郑州外国语学校杨春波两条直线垂直，即一条直线与另一条直线变式2当、B、、D四点共面时，即的夹角为直角，是直线与直线之间的一种特殊得四边形的对角线互相垂直四边形对边平位置关系．两条直线垂直有多种表征方式，而方和相等，这分为凸四边形(如图2)与凹四边等差幂线定理则是判定线线垂直的一个充要条形(如图3)两种情况．件，十分有用．本文将首先用向量法证明等差幂线定理，接着给出其多种变式(推论)，最后结合文f11与文【2】中的例子说

2、明其应用．1．定理的证明等差幂线定理已知任意四点、B、C、D则上口D甘B+CD2：B+图2D2．该定理将垂直与长度相联系，将线段间的位置关系转化为线段长度的定量计算，有一定的优越性．鉴于A、B、C、D四点的任意性，考虑用向量法给出证明，稍微修改就可得定理C的质点法证明．图3证明：任取一点(=)，有AB0+CD2：BC+AD2变式3当、B、、D四点不共面时，(oB—b-~)2+fOD一06)3：(Od一得到四面体A—BCD中，对棱AC与BD垂(=)1+f0一oA)2直AB2+CD。=BC+AD，如

3、图4．错0A．0B+0C．0D=0B·0C+——————}———_0D．OA--—-·--—--—-·--—铮(OA—oc)·(OB—OD)=0—--————-{AC·BD=0．即J-D，得证．D2．定理的多种变式由于A、B、、D四点是任意的，所以我们可取特殊情况，得到定理的多种变式．C变式1当点D与点重合时，即有图4-l-B甘AB2+AC2=0，这是我由该变式可知：在四面体—BC中，们熟悉的勾股定理，如图1．若4B=D，BC=CD，则j-BD；若AB上D．D上BC，则A上D．变式4当点D在上时

4、，有上BDAB2+CD2：BC2+AD铮AB2一C图1D2：BC2一C2，如图5．2015年第5期数学教学5—2l．JDC图8图5证明：在凹四边形CBH中，由日上△ABC中，若BD是C边上的高，显AB得+B日2=BC2+AH2．在凹四见AB2一AD2一BC2一CD2一BD2，而该变边形AB日中，由B日上A得AB+H2一式对其逆命题做了肯定回答．BC2+日2．于是，在凹四边形ABHC中，得3．定理的应用到AB2+CH2=C2+BH2，则H-l-．例1如图6，F、JE}D、E分别是△JE}由此题可得

5、△B垂心日的一个性质：B2+CH2=BC2+AH2=AC2+BH2．三边上的高，点日是垂心，M、N分别是B、日的中点．求证：MⅣ上DF．例4如图9，在△B中，B+=5B2．证明：BC和边上的中线D与BE相互垂直．C图6CD图9证明：连结四边形MDⅣF各边，则DM=FM=ABDN=FN=CH于是DM证明：连结DE，由B+CA2=5B+FN2：DN2+FM2MNLDF得BD+E=5DE=AB2+D，所．以D上BE．例2如图7，JF)为正方形A日D对角线例5(1995年俄罗斯竞赛试题1如图10，BD上

6、一点(不与点B、D重合)，PE上B于在四边形BD中，和F是D和上点PF上D于点F．求证：AP_l_EF．的点，B=AD，DF上A，B上BC，D上D．求证：AF上B．图7D证明：因E+pF2=AB+BE2+PF2=AD2+DF2+PE2：F2+P2图10．则P上EF．itR~：在四边形ADEF中，由DF~AE得例3如图8，在△B中，CD2AB，BEAD+EF=DE+AF，即AB。+EF=_l-C，D、E是垂足，D与E交于点日．证AE一AD。+AB+BF=AE+BF，则明：AHJ_B．奄AFLBE．

7、5～22数学教学2015年第5期例6(1992年澳大利亚数学竞赛试题)如F2=BD+DF2—2BD．DFCOSBDF=图l1，五边形ABCDE，其中AB：BC，D+EF+2CD．DFsinC，代入整理ZBCD=XEAB：90。，X是五边形内一点，即DE2=2CD．DFsinC，显然成立且A_lIB，CXZBD，求证：BX~DE．例8如图13，对于任意△ABC，ADJ_BC，DE~AC，F是线段DE上任意一点．证明：AnBENK{XN：．CB图11证明：设B与DE相交于点P，由CEj—E，上BD得

8、B2+P2：E2+图13BP2，B+DP2=CD2+Bp2，两式相减证明：F上BE甘AB2+EF2=得EP2一Dp2=AE2一CD2：EB2一BD2，+BF2即D+P2=Dp2+EB2，则有BP_l_DE．，由D_l_B，D上知，此式等价于BF2：JE}D0+D+EF2．又在ABDF中，例7(1962年全俄数学竞赛试题)如图由余弦定理得BF2=BD+F—2BD．l2，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DFCOSZBDF=BD2+DF2+2BD．DFE是从点作C的垂线的垂足，F是DE的si