等差数列及其变式解题初探

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1、等差数列及其变式解题初探　　摘要：在高中数学课程中，数列作为离散函数的典型代表之一，具有重要地位。而近年来，无论是在高考数学还是在公务员的行政能力测试中，等差数列及其变式的应用总能占到一定的比重。因此，掌握等差数列的相关解题技巧，在学习数学的过程中是很有必要的。　　关键词：等差数列变式解题技巧　　等差数列是数学教学中的重点和难点，学生初接触这部分内容的普遍反映是不好掌握，学习中有畏难情绪。其实，只要掌握好的解题技巧，这部分内容就会迎刃而解。作为教师，我们在教给学生基础知识的同时，也要注意方法的教授，这样才能增强学生的成就感，激发其对数学的学习兴趣。　　一、等差数列　　如果一个数列从第二项起，每

2、一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差。例如，1，4，7，10，13，16，19，22，25……这是一个公差为3的等差数列。　　二、二级等差数列　　一般地，一个数列相邻的两项作差，得到的新数列为等差数列，则称原数列为二级等差数列。6　　解题模式：（1）观察数列特征，大部分多级等差数列为递增或递减的形式；（2）尝试作差，一般为相邻两项之间作差，注意作差时相减的顺序要保持不变；（3）猜测规律；（4）检验；（5）重复步骤（2）～（4）直至规律吻合。　　例1：11，12，15，20，27，（C）　　A.32B.34　　C.36　　D.38　　解题关

3、键点：原数列后项减前项构成等差数列。　　例2：32，27，23，20，18，（D）　　A.14　　B.15　　C.16D.17　　解题关键点：原数列后项减前项构成等差数列。　　三、二级等差数列变式　　1.相邻两项之差是等比数列　　例3：0，3，9，21，93，（B）　　A.40B.45C.36D.38　　解题关键点：相邻两项求差，得到公比为2的等比数列。　　2.相邻两项之差是连续质数　　例4：11，13，16，21，28，（B）　　A.37　　B.39C.41D.47　　解题关键点：相邻两项求差，得到质数列。6　　3.相邻两项之差是平方数列、立方数列　　例5：1，2，6，15，（C）　　A.1

4、9　　B.24C.31D.27　　解题关键点：数列特征明显单调且倍数关系不明显，优先做差，得到平方数列。　　4.相邻两项之差是和数列　　例6：2，1，5，8，15，25，（B）　　A.41B.42C.43D.44　　解题关键点：相邻两项之差是和数列。　　5.相邻两项之差是循环数列　　例7：1，4，8，13，16，20，（B）　　A.20B.25　　C.27D.28　　解题关键点：该数列相邻两项的差成3，4，5一组循环的规律，所以空缺项应为20+5=25，故选B。　　四、三级等差数列　　一般地，一个数列相邻的两项作差，得到新的数列，然后对该新数列相邻两项作差，得到等差数列，则称原数列为三级等差数

5、列。其解题模式与二级等差数列基本相同。　　例8：1，9，35，91，189，（B）　　A.3616　　B.341　　C.321　　D.301　　解题关键点：原数列后项减前项构成数列8，26，56，98，（），新数列后项减前项构成数列18，30，42，（），该数列是公差为12的等差数列，接下来一项为54，反推回去，可得原数列的空缺项为54+98+189=341，故选B。　　解法二：立方和数列。　　解法三：因式分解数列，原数列经分解因式后变成：1×1，3×3，5×7，7×13，9×21，（11×31），将乘式的第一个因数和第二个因数分别排列，前一个因数是公差为2的等差数列，后一个因数是二级等差数列

6、，答案也为B。　　例9：5，12，21，34，53，80，（D）　　A.121　　B.115　　C.119　　D.117　　解题关键点：原数列后项减前项构成数列7，9，13，19，27，（），新数列后项减前项构成数列2，4，6，8，（），该数列是公差为2的等差数列，故选D。　　五、三级等差数列变式　　1.两次作差之后得到等比数列6　　例10：0，1，3，8，22，63，（C）　　A.163　　B.174　　C.185D.19　　解题关键点：原数列后项减前项构成数列1，2，5，14，41，（），新数列后项减前项构成数列1，3，9，27，（），该数列是公比为3的等比数列，故选C。　　2.两次作差之

7、后得到连续质数　　例11：1，8，18，33，55，（C）　　A.86　　B.87C.88D.89　　解题关键点：原数列后项减前项构成数列7，10，15，22，（），新数列后项减前项构成数列3，5，7，（），该数列是质数列，故选C。　　3.两次作差之后得到平方数列、立方数列　　例12：5，12，20，36，79，（B）　　A.185B.186　　C.187　　D.188　　解题关键点：原数列后项减