图像法完美解决“分段函数”零点问题

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1、·32·中学数学研究2015第8期B(一，一y)．直线AB的斜率=，由AD上(一1，一Y1)．直线AB的斜率kAB=_J1，由AD上AB，知直线AD的斜率k=一．设AD的方程为y：AB，知直线AD的斜率k=一．设AD的方程为Y=y1)，1kx+m，由条件设知k≠0，m≠0．由kx+m，由条件设知k≠0，m≠0．由Jr+y，’消去y整理得(2．i}+bE)z+2a2m』一1，消去y整理得(。：一6：)z+2a：mly：+m，【y：+m，+。2m2一n6=o．所以+=一，y++。2m2+。6=0．所以+x=一，y+

2、)，=jc(+：)十2m=j．y=jc(。+X2)+2m=一a鲁．由条件知≠一DU1_U由条件-X,2~所==一b2所以=Yl+Y2=b2—=一于是直线B。，X,1，b2yl：—于是直线BD的方程为y+y：(+的方程为y+y。：一(+)，令y=0，得=，)，令y：0，得：D，即(主D。，0)，一半，即(一学l，0=L：．——=·从而。=从而：，口+6一26+01，’‘。一一—十—#：．故存在常数A=#=1—2e(其中一故存在常数A=一=1一nU0Ⅱe为椭圆的离心率)，使得k。=Ak．2e(其中e为双曲线的离心率

3、)，使得k=Ak．由上面的讨论，我们可得有心圆锥曲线的一个性质2在平面直角坐标系中，双曲线c：一统一性质：定理在平面直角坐标系中，已知有心圆锥曲=1a>0，b>o)，过原点的直线与双曲线C交D线C的离心率为e，过C的中心的直线与C交于A，B于A，B两点(A，B不是双曲线C的顶点)，点D在双两点(A，B不是C的顶点)，点D在C上，且AD上曲线C上，且AD上AB，直线BD与轴交于M点，设AB，直线BD与C的焦点所在对称轴交于M点，设直直线BD，AM的斜率分别为k，k，则存在常数A，使线BD，AM的斜率分别为k。，k

4、：，则存在常数A=1—得kl=Ak2．2e。使得k=Ak，．证明：设A(．，Y)(Y≠0)，D(，，’，)，贝0图像法完美解决“分段函数"零点问题南昌大学附属中学(330047)温伟明函数是中学数学的重要内容，其中分段函数是加灵活地运用数学知识去分析解决问题留下了一个一类特殊函数．它不仅体现了一般函数所具备的性可供探索、益于创新的思维空间．正是基于这一点，它质、方法、思想，更能有效地考查学生的阅读理解、分在高考试题中由一个不起眼的考点迅速成为热点．类讨论、发散思维、数形结合等多种能力，为学生更分析近几年的高考试

5、题，分段函数不再拘于只2015年第8期中学数学研究·33·对函数解析式的理解，会求解简单的函数值，而开始况：从图像单调性、对称性、最值、零点等多方面，多种形；-式考查学生的综合能力．而零点问题在2015年的高；：＼Ufr⋯考试卷中尤为突出，下面将通过其中两个具体实例，f；时悔蛳幽I来研究与探讨图像法在分段函数零点问题中的运。、}r—+；用．：R唐一_壤南夺_l例1(2015年北京卷)设函数)：J-2一口，

6、的最小值为；——与轴有1交点时，1≤0<1；②若)恰有2个零点，则实数6／,的取值范围是．ii)当0≥2，h(x)与轴无交点；g()与轴——分析：①若口=1，则分段函数各段范围和解析有2交点．式已经确定，可以分别求出各段的值域，进而求出其综上所述，÷≤凸<1或0≥2．最小值；②若)恰有2个零点，则函数与轴有两赏析：本题是分段函数的零点问题，参数出现在个交点，可利用其函数图像分别对两段上的零点进各段解析式中，需要分别对其讨论零点个数，即讨论行分析，由于0不确定，所以需要对口进行分类讨与轴的交点，而利用图像法能够很

7、清晰直观的将论．各种情形展示出来．解析：①当口=1时，函数)=例2(2015年天津卷)已知函数-厂()=』2一，<，当<1时，一1<2一11xl,x<~21．4(一1)(一2)，≥1{2(-,函数g()=6一f(2-x)，其中6一2)>2<1；当≥1时，4(一1)(一2)≥一1，所以)，，∈R，若函数Y=)一g(x)恰有4个零点，则b的最小值为一1．取值范围是()．②(1)当时=由图像()(7，+∞)()(一∞，÷)易知函数与轴没有交点，故舍去；(2)当a<0时，令h()=2一口(<1)，．‘．0(c)(0，7

8、)(D)(7，2)