易错题之二次函数利润专项技巧与易错点分析.doc

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1、利用二次函数解决利润的最值问题——我对北师大课本一道例题的认识北师大2014年7月第1版数学九年级下册P48例题的解答中有这样一个过程：y=(160+10x)(120-6x)=-60(x-2)2+19440这里并没有把关系式先化为一般形式，而是直接写成二次函数的顶点式，有的同学会问，这里的“2”和“19440”是怎么来的，不是用，吗？不化为一般形式怎么找a、b、c呀！其实我们只需求出抛物线与x轴的交点横坐标，即y=0时x的两个值，再根据抛物线的对称性，或运用“中点坐标公式”，就得到了抛物线的顶点横坐标，再把它代入关系式

2、即可求出对应y的值，也就是顶点纵坐标。如果把这道例题变为一道填空或选择题，我们巧用抛物线的对称性，过程会既节又省，提高做题效率。比如：某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元时，每天都客满。经市场据调查发现，如果每间客房的日租金增加10元，那么客房每天出租数会减少6间。不考虑其它因素，旅馆将每间客房的日租金提高到____元时，客房日租金的总收入最高。设每间客房的日租金提高10x元，客房日租金的总收入为y元，则y=(160+10x)(120-6x)，令y=0，得两根为-16和20，根据抛物线的对称性，得顶点横坐标为

3、x=2。由x0且120-6x>0得0x<20，x=2在此范围内。当x=2时每间客房的日租金提高到160+10x=180（元）其实本题在解答时根本没有必要求出关系式，当然你对二次函数的有关性质必须是了然于胸的。对于这类带有“最”字的问题，如花费最少、消耗最低、面积最大、产值最高、获利最多等，是我们学习二次函数后常遇到的数学问题，这就是我们要讨论的最值问题。在代数中，求最值的问题的方法归纳起来有以下几点：1．建立函数模型求最值：2．运用配方法求最值：分式的最小值为4若，则可取得的最小值为()A．3B．C．D．6提示：设，则

4、可用只含的代数式表示，通过配方求最小值3．构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值：设a、b为实数，那么的最小值是1134．利用基本不等式求最值：正实数、满足，那么的最小值为(C)A．B．C．1D．E．(1)；(2)；（3）若，，则；下面我们主要研究利用二次函数模型解决最值问题。它解题的一般步骤是：（1）设定实际问题中的自变量和因变量（即函数）；如在“当AA为何值时，BB最大”的设问中，AA要设为自变量，BB要设为函数。（2）列出函数与自变量之间的函数关系式；这里的函数关系式要写成二次函数的顶点式（注意技

5、巧）。（3）找出自变量的取值范围，保证自变量具有实际意义；（4）在自变量的取值范围内解答函数最值，并相应地写出答案。二次函数中的利润型应用题（一）熟悉基本公式和解题思路：此类问题常用的公式是：总利润=单件商品利润×销售数量设未知数时，总利润必然是函数y，自变量可能是涨价多少（或降价多少），也可能是最终的售价。看下面的问题：例（2015•营口，第16题3分）某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为　　元时，该服

6、装店平均每天的销售利润最大。【解法一】：设利润为y元，定价为x元。根据题意得：y=（x﹣15）[8+2（25-x）]=（x﹣15）(58-2x）=﹣2x2+88x﹣870=﹣2（x﹣22）2+98由x-150且58-2x>0得15x<29，x=22在此范围内。∵a=﹣2＜0，∴抛物线开口向下，∴当x=22时，y最大值=98．故答案为：22．由于这个问题中存在诸多变量，许多同学想不明白，我看这样想行不行：单件利润=售价-进价，进价是不变的，而售价现在变为x了，则单件利润就是（x-15）。而这时数量变化依然是因为降价而造成

7、的，始终有降价2元多卖4件这一关系，所以如果知道了降多少元，就必然知道多卖多少件。那么降了多少元呢？最初的售价是2513元，降价后的售价是x元，那么之间的差值就是所降的价格，即降价为(25-x)。我们知道降2元多卖4件，降1元多卖2件，现在降了（25-x）负全部元，那么就应该多卖2×（25-x）件，注意这只是多卖的，总共卖的应该是原来卖的8件加上多卖的，即8+2（25-x）。所以数量就是[8+2（25-x）]。单利润知道了是x-15，销售数量也知道了是8+2（25-x），则总利润y=（x﹣15）[8+2（25-x）]。

8、【解法二】：设利润为y元，定价为x元。根据题意得：y=（x﹣15）[8+2（25-x）]=（x﹣15）(58-2x）由于本题是一道填空题，所以只要明了二次函数的意义，就可以快速解题：x﹣15=0得x=15；58-2x=0得x=29。其实在这里就已经能求出自变量x的取值范围了（15x<29）。下面根据抛物线的对称性，得顶点横坐标为x