函数零点易错点分析.doc

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1、让函数零点的错误不再现山东省定陶县第一中学（274100）曹广朋　　函数的零点是函数图象的一个重要的特征，同时也沟通了函数、方程、不等式以及算法等内容，在分析解题思路、探求解题方法中起着重要的作用，因此要重视对函数零点的学习．下面就函数的零点判定中的几个误区进行剖析，希望对大家有所帮助．1．因＂望文生义＂而致误　　　　例１．函数的零点是　　　　（　　）　Ａ．　　Ｂ．　　Ｃ．，　　Ｄ．１，２错解：Ｃ错解剖析：错误的原因是没有理解零点的概念，＂望文生义＂，认为零点就是一个点．而函数的零点是一个实数，即使成立的实数，也是函数的图象与轴交点的横坐标．正解：由得，

2、＝１和２，所以选Ｄ．点拨：求函数的零点有两个方法，⑴代数法：求方程的实数根，⑵几何法：由公式不能直接求得，可以将它与函数的图象联系起来，函数的图象与轴交点的横坐标．即使所求．2．因函数的图象不连续而致误例２．函数的零点个数为　　（　　）　Ａ．０　　Ｂ．１　　Ｃ．２　　Ｄ．３错解：因为，，所以，函数有一个零点，选Ｂ．错解剖析：分析函数的有关问题首先考虑定义域，其次考虑函数的图象是不是连续的，这里的函数图像是不连续的，所以不能用零点判定定理．正解：函数的定义域为，当时，，当时，所以函数没有零点．也可由得方程无实数解．　　点拨：对函数零点个数的判定，可以利用零

3、点存在性定理来判定，涉及多个零点的往往借助于函数的单调性．若函数在区间上的图象是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即,则在区间内，函数至少有一个零点，即相应的方程在区间至少有一个实数解．然而对于函数的，若满足，则在区间内不一定有零点；反之，在区间内有零点也不一定有．前者是因为图象不连续，后者是因为方程有重根．如下图所示：　　　　1．因函数值同号而致误例３．判定函数在区间内是否有零点．错解：因为，所以，函数在区间内没有零点．错解剖析：上述做法错误地用了函数零点判定定理，因为函数在区间上的函数图像是连续曲线，且，也可能在内有零点．如函数在区间上有，但

4、在内有零点．正解：当时，，函数在上的图象与轴没有交点，即函数在区间内没有零点．　　　法二：由得，故函数在区间内没有零点．点拨：对有些函数，即使它的图象是连续不断的，当它通过零点时，函数值也不一定变号．如函数有零点１，（如上图）但函数值没变号．对函数零点的判定一定要抓住两点：①函数在区间上的图象是连续曲线，②在区间端点的函数值符号相反，即．2．因忽略区间端点而致误例４．已知二次函数在上有且只有一个零点，求实数的取值范围．错解：由函数的零点的性质得，即，解得．所以实数的取值范围为．错解剖析：错解的原因是只注意到函数零点的应用，而忽略问题的其它形式：①在上有二

5、重根；②终点的函数值可能为０．正解：⑴当方程在上有两个相等实根时，　　　　　　　且，此时无解．　　　　⑵当方程有两个不相等的实根时，①有且只有一根在上时，有，即，解得②当时，＝０，，解得，合题意．③当时，，方程可化为，解得合题意．综上所述，实数的取值范围为．点拨：在求参数时，要注意将函数零点的特殊性质与函数的有关性质相结合，进行分类讨论使复杂的问题简单化．　本文已在《学苑新报》上发表