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《2020版函数零点易错点分析.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、让函数零点的错误不再现山东省定陶县第一中学（274100）曹广朋函数的零点是函数图象的一个重要的特征，同时也沟通了函数、方程、不等式以及算法等内容，在分析解题思路、探求解题方法中起着重要的作用，因此要重视对函数零点的学习．下面就函数的零点判定中的几个误区进行剖析，希望对大家有所帮助．1．因＂望文生义＂而致误2例１．函数f(x)x3x2的零点是（）Ａ．1,0Ｂ．2,0Ｃ．1,0，2,0Ｄ．１，２错解：Ｃ错解剖析：错误的原因是没有理解零点的概念，＂望文生义＂，认为零点就是一个点．而函数的零点是一个实数，即使fx0成立的实数x，也
2、是函数yfx的图象与x轴交点的横坐标．正解：由2fxx3x20得，x＝１和２，所以选Ｄ．点拨：求函数的零点有两个方法，⑴代数法：求方程fx0的实数根，⑵几何法：由公式不能直接求得，可以将它与函数的图象联系起来，函数的图象与x轴交点的横坐标．即使所求．2．因函数的图象不连续而致误1例２．函数fxx的零点个数为（）xＡ．０Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３错解：因为f(1)2，f12，所以f1f10，函数yfx有一个零点，选Ｂ．1错解剖析：分析函数的有关问题首先考虑定义域，其次考虑函数fxx的图象是x不是连续的，这里的函数图像是不连续的，所以不
3、能用零点判定定理．正解：函数的定义域为,00,，当x0时，fx0，当x0时，fx012所以函数没有零点．也可由x0得x10方程无实数解．x点拨：对函数零点个数的判定，可以利用零点存在性定理来判定，涉及多个零点的往往借助于函数的单调性．若函数yfx在区间a,b上的图象是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即fafb0,则在区间a,b内，函数fx至少有一个零点，即相应的方程fx0在区间a,b至少有一个实数解．然而对于函数的fx，若满足fafb0，则fx在区间a,b内不一定有零点；反之，fx在区间a,b内有零点也不一定有fa
4、fb0．前者是因为图象不连续，后者是因为方程有重根．如下图所示：yyxOaOb-11x3．因函数值同号而致误例３．判定函数fx2x3在区间1,1内是否有零点．错解：因为f1f11，所以f1f10，函数fx2x3在区间1,1内没有零点．错解剖析：上述做法错误地用了函数零点判定定理，因为函数fx在区间a,b上的函数图像是连续曲线，且fafb0，也可能在a,b内有零点．如函数gx2x11在区间1,1上有g1g10，但在1,1内有零点x．2正解：当x1,1时，fx2x31，函数yfx在1,1上的图象与x轴没有交点，即函数fx2x3在
5、区间1,1内没有零点．3法二：由2x30得x1,1，故函数fx2x3在区间1,1内2没有零点．点拨：对有些函数，即使它的图象是连续不断的，当它通过零点时，函数值也不一定变2号．如函数y(x1)有零点１，（如上图）但函数值没变号．对函数零点的判定一定要抓住两点：①函数yfx在区间a,b上的图象是连续曲线，②在区间端点的函数值符号相反，即fafb0．4．因忽略区间端点而致误例2４．已知二次函数fxx(m1)x2m在0,1上有且只有一个零点，求实数m的取值范围．错解：由函数的零点的性质得f0f10，即2mm20，解得2m0．所以实
6、数m的取值范围2,0．为错解剖析：错解的原因是只注意到函数零点的应用，而忽略问题的其它形式：①在0,1上有二重根；②终点的函数值可能为０．2正解：⑴当方程x(m1)x2m0在0,1上有两个相等实根时，2m1m18m0且01，此时无解．22⑵当方程x(m1)x2m0有两个不相等的实根时，①有且只有一根在0,1上时，有f0f10，即2mm20，解得2m0②当f00时，m＝０，2fxxx0，解得x10,x1，合题意．22③当f10时，m2，方程可化为x3x40，解得x11,x24合题意．综上所述，实数m的取值范围2,0．为点拨：在
7、求参数时，要注意将函数零点的特殊性质与函数的有关性质相结合，进行分类讨论使复杂的问题简单化．本文已在《学苑新报》上发表
