高中数学第7章解析几何初步7.2.4.1倾斜角与斜率学案湘教版必修3.docx

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1、第1课时　倾斜角与斜率[学习目标]1．理解直线的倾斜角和斜率的概念．2．掌握求直线斜率的两种方法．[预习导引]1．直线的倾斜角(1)当直线l与x轴相交时，它的倾斜角α就是x轴绕交点沿逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角．当直线与x轴平行或重合时，规定倾斜角α＝0．(2)倾斜角的范围：0≤α<π.2．斜率的概念及斜率公式定义倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫作这条直线的斜率，记为k，即k＝tan__α取值范围当α＝0°时，k＝0；当0°＜α＜90°时，k＞0；当90°＜α＜180°时，k＜0；当α＝9

2、0°时，斜率不存在过两点的直线的斜率公式直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其斜率k＝(x1≠x2)要点一　直线的倾斜角例1　设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为(　　)A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾角为α－135°答案　D解析　根据题意，画出图形，如图所示：因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画

3、图(如图所示)可知：当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D.规律方法　1.解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答．2．求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．跟踪演练1　一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为(　　)A．αB．180°－αC．180°－α或90°－αD．90°＋α或90°－α答案　D解析

4、　如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.故选D.要点二　直线的斜率例2　已知直线l过P(－2，－1)，且与以A(－4，2)，B(1，3)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围．解　根据题中的条件可画出图形，如图所示，又可得直线PA的斜率kPA＝－，直线PB的斜率kPB＝，结合图形可知当直线l由PB变化到与y轴平行的位置时，它的倾斜角逐渐增大到90°，故斜率的取值范围为，当直线l由与y轴平行的位置变化到PA位置时，它的倾斜角由90°增大到PA

5、的倾斜角，故斜率的变化范围是.综上可知，直线l的斜率的取值范围是∪.规律方法　(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tanα(α≠90°)解决．(2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝(x1≠x2)求解．(3)涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解．跟踪演练2　已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点．(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．解　如图所示，由题意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1.(1)要使直线l与线段AB

6、有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1，或k≥1.(2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°.要点三　斜率公式的应用例3　已知实数x，y满足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，求的最大值和最小值．解　如图所示，由于点(x，y)满足关系式2x＋y＝8，且2≤x≤3，可知点P(x，y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标可分别求得为A(2，4)，B(3，2)．由于的几何意义是直线OP的斜率，且kOA＝2，kO

7、B＝，所以可求得的最大值为2，最小值为.规律方法　若所求最值或范围的式子可化为的形式，则联想其几何意义，利用图形数形结合来求解．跟踪演练3　已知实数x，y满足y＝x2－x＋2(－1≤x≤1)，试求的最大值和最小值．解　由的几何意义可知，它表示经过定点P(－2，－3)与曲线段AB上任一点(x，y)的直线的斜率k，由图可知kPA≤k≤kPB，由已知可得A(1，2)，B(－1，4)．则kPA＝＝，kPB＝＝7.∴≤k≤7，∴的最大值为7，最小值为.1．下图中α能表示直线l的倾斜角的是(　　)A．①B．①②C．①③D．②④

8、答案　A解析　结合直线l的倾斜角的概念可知只有①可以，选A.2．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为(　　)A.B.C．1D.答案　A解析　由题意可知，k＝tan30°＝.3．过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y＝(　　)A．－B.C．－1D．1答案　C解析　tan45°＝kAB＝，即＝1，所以y＝－1.4．直线l经过第二、