高中数学第7章解析几何初步7.4几何问题的代数解法学案湘教版必修3.docx

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1、7．4　几何问题的代数解法[学习目标]1．理解坐标法的意义，并会用坐标法研究问题．2．进一步掌握用解析法处理平面几何问题．[预习导引]1．解决几何问题的基本方法——解析法解析法是解决解析几何、立体几何等问题的重要方法，它是把几何问题转化成代数问题，通过建立适当的坐标系加以分析研究解决问题的方法．2．用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”为：(1)建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；(2)通过代数运算，解决代数问题；(3)把代数运算结果“翻译”成几何结论并作答．要点一　用解析法证明几何问题例1　△AB

2、D和△BCE是边AB，BC在直线AC上且位于直线AC同侧的两个等边三角形，用坐标法证明：

3、AE

4、＝

5、CD

6、.证明　如图，以B点为坐标原点，取AC所在直线为x轴，建立直角坐标系．设△ABD和△BCE的边长分别为a，c，则A(－a，0)，E(，c)，C(c，0)，D(－，a)，于是

7、AE

8、＝＝＝.

9、CD

10、＝＝＝.所以

11、AE

12、＝

13、CD

14、.规律方法　坐标法的基本步骤第一步：建立适当的坐标系用坐标表示有关量．第二步：进行有关代数运算．第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系．跟踪演练1　在△ABC中，D是BC边上任意一点(D与B，C不重合)，且

15、AB

16、2＝

17、AD

18、

19、2＋

20、BD

21、·

22、DC

23、，求证：△ABC为等腰三角形．证明　如图，作AO⊥BC，垂足为O，以BC所在直线为x轴，以OA所在直线为y轴，建立直角坐标系．设A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，D(d，0)．因为

24、AB

25、2＝

26、AD

27、2＋

28、BD

29、·

30、DC

31、，所以由两点间的距离公式，得b2＋a2＝d2＋a2＋(d－b)(c－d)，即－(d－b)(b＋d)＝(d－b)(c－d)，又d－b≠0，故－b－d＝c－d，即－b＝c.所以△ABC为等腰三角形．要点二　代数问题的几何解法例2　求函数y＝－的值域．解　显然函数的定义域为R，y＝－＝－.设P(x，0)，A(

32、，)，B(－，)为平面上三点，则

33、PA

34、＝＝，

35、PB

36、＝＝.y＝

37、PB

38、－

39、PA

40、.∵

41、

42、PB

43、－

44、PA

45、

46、<

47、AB

48、，且

49、AB

50、＝1，∴

51、y

52、<1，即－1

53、PA

54、＋

55、PB

56、取最小值．∵A关于x轴的对称点为A′(0，－1)，∴(

57、PA

58、＋

59、PB

60、)min＝

61、A′B

62、＝＝＝，即函数y＝＋

63、的最小值为.要点三　坐标法的实际应用例3　一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径为30km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？解　以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图所示)，其中取10km为单位长度．则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2＋y2＝9，港口所对应的点的坐标为(0，4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7，0)，则轮船航线所在直线l的方程为＋＝1，即4x＋7y－28＝0.圆心(0，0)到

64、直线4x＋7y－28＝0的距离d＝＝，而半径r＝3，∵d>r，∴直线与圆相离，所以轮船不会受到台风的影响．规律方法　先以台风中心为原点建立适当的坐标系，把有关的几何元素用坐标和方程表示，然后把此实际问题转化为数学问题来解决．跟踪演练3　有弱、强两个喇叭在A，O两处，若它们的强度之比为1∶4，且相距60m，问在什么位置听到两个喇叭传来的声音强度是相等的？(假设声音强度与距离的平方成反比)解　以直线OA为x轴，O为坐标原点建立如图所示的直角坐标系．则O(0，0)，A(60，0)．设在P(x，y)处听到O，A两处的喇叭声音强度相等．由题设知＝，即＝，整理，得

65、(x＋20)2＋y2＝402.故P点的轨迹是以(－20，0)为圆心，40为半径的圆，也就是在此圆周上听到的声音强度相等.1．过点A(－1，4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线，则A到切点的距离为(　　)A.B．3C.D．5答案　B解析　设圆心C(2，3)，则

66、AC

67、＝，∴点A到切点的距离即切线长l＝＝3.2．圆x2＋y2＝1上的点到直线3x＋4y－25＝0的距离的最小值是(　　)A．6B．4C．5D．1答案　B解析　圆心到直线3x＋4y－25＝0的距离为＝5.则圆上的点到直线3x＋4y－25＝0的距离的最小值为5－1＝4.3．已知圆x2＋y2＋

68、2x－4y＋4＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称，则b＝________.答案　4解析　已知圆的