高考数学第2部分专题5解析几何第8讲直线与圆学案文.docx

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1、第8讲 直线与圆高考统计·定方向热点题型真题统计命题规律题型1:圆的方程2018全国卷ⅡT20;2017全国卷ⅢT201.高考中对此部分内部的考查以“一小”或“一大”的形式呈现.2.重点考查直线与圆的位置关系,圆的方程常与圆锥曲线交汇命题.题型2:直线与圆、圆与圆的位置关系2018全国卷ⅠT15;2018全国卷ⅢT8;2017全国卷ⅢT112016全国卷ⅠT15;2016全国卷ⅡT6;2016全国卷ⅢT152015全国卷ⅠT20;2014全国卷ⅠT20;2014全国卷ⅡT12题型1 圆的方程■核心知识储备·1.圆的标准方程当圆心为(a,b

2、),半径为r时,其标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,特别地,当圆心在原点时,方程为x2+y2=r2.2.圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,其中D2+E2-4F>0,表示以为圆心,为半径的圆.■高考考法示例·【例1】 (1)方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则a的取值范围是(  )A.(-∞,-2)∪ B.C.(-2,0)D.(2)(2018·厦门模拟)圆C与x轴相切于T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B,且

3、AB

4、=2,则圆C的标准方程为(  )A.(x-1)2+(y-)2=2B.(x-1)2

5、+(y-2)2=2C.(x+1)2+(y+)2=4D.(x-1)2+(y-)2=4(3)(2018·黄山模拟)已知圆C关于y轴对称,经过点A(1,0),且被x轴分成的两段弧长之比为1∶2,则圆C的方程为________.(1)D (2)A (3)x2+2= [(1)方程可化为2+(y+a)2=1-a-,由题意知1-a->0,解得-2<a<,故选D.(2)由题意得,圆C的半径为=,圆心坐标为(1,),∴圆C的标准方程为(x-1)2+(y-)2=2,故选A.(3)因为圆C关于y轴对称,所以圆C的圆心C在y轴上,可设C(0,b),设圆C的半径为

6、r,则圆C的方程为x2+(y-b)2=r2.依题意,得解得所以圆C的方程为x2+=.][方法归纳] 求圆的方程的两种方法1.几何法,通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系,进而求得圆的基本量和方程.2.代数法,即用待定系数法先设出圆的方程,再由条件求得各系数.■对点即时训练·1.(2018·青岛模拟)与直线x+y-2=0和曲线x2+y2-12x-12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是(  )A.(x+2)2+(y-2)2=2B.(x-2)2+(y+2)2=2C.(x+2)2+(y+2)2=2D.(x-2)2+(y-2)2=

7、2D [由题意知,曲线为(x-6)2+(y-6)2=18,过圆心(6,6)作直线x+y-2=0的垂线,垂线方程为y=x,则所求的最小圆的圆心必在直线y=x上,又(6,6)到直线x+y-2=0的距离d==5,故最小圆的半径为,圆心坐标为(2,2),所以标准方程为(x-2)2+(y-2)2=2.]2.一束光线从圆C的圆心C(-1,1)出发,经x轴反射到圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程刚好是圆C的直径,则圆C的方程为(  )A.(x+1)2+(y-1)2=4B.(x+1)2+(y-1)2=5C.(x+1)2+(y-1)2=16

8、D.(x+1)2+(y-1)2=25A [圆C1的圆心C1的坐标为(2,3),半径为r1=1.点C(-1,1)关于x轴的对称点C′的坐标为(-1,-1).因为C′在反射线上,所以最短路程为

9、C′C1

10、-r1,即-1=4.故圆C的半径为r=×4=2,所以圆C的方程为(x+1)2+(y-1)2=4,故选A.]题型2 直线与圆、圆与圆的位置关系■核心知识储备·1.直线和圆的位置关系的判断方法直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0)与圆:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系如表.方法位置关系 几何法:根据d=与r的大小关系代数

11、法:消元得一元二次方程,根据判别式Δ的符号判断相交d<rΔ>0相切d=rΔ=0相离d>rΔ<02.弦长与切线长的计算方法(1)弦长的计算:直线l与圆C相交于A,B两点,则

12、AB

13、=2(其中d为弦心距).(2)切线长的计算:过点P向圆引切线PA,则

14、PA

15、=(其中C为圆心).3.圆与圆的位置关系设两圆圆心分别为O1,O2,半径分别为r1,r2,

16、O1O2

17、=d,则(1)d>r1+r2⇔两圆外离⇔4条公切线;(2)d=r1+r2⇔两圆外切⇔3条公切线;(3)

18、r1-r2

19、<d<r1+r2⇔两圆相交⇔2条公切线;(4)d=

20、r1-r2

21、(r1≠

22、r2)⇔两圆内切⇔1条公切线;(5)0<d<

23、r1-r2

24、(r1≠r2)⇔两圆内含⇔无公切线.■高考考法示例·【例2】 (2016·全国卷Ⅲ)已知直线l:x-y+6=0与圆x2+y2=12交于

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