2019_2020学年新教材高中数学第五章三角函数5.4.3正切函数的性质与图象学案新人教A版必修第一册.docx

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1、5．4.3　正切函数的性质与图象1．会求正切函数y＝tan(ωx＋φ)的周期．2．掌握正切函数y＝tanx的奇偶性，并会判断简单三角函数的奇偶性．3．掌握正切函数的单调性，并掌握其图象的画法．正切函数y＝tanx的图象与性质解析式y＝tanx图象定义域值域R周期π奇偶性奇单调性在开区间(k∈Z)内都是增函数温馨提示：(1)正切函数在每一个开区间(k∈Z)内都是增函数，不能说函数在其定义域内是单调递增函数．(2)正切函数的图象的简图可以用“三点两线法”作出，三点指的是(kπ，0)，，，k∈Z，两线为直线x＝kπ＋和直线x＝

2、kπ－，其中k∈Z，这样可以快速地作出正切函数的图象．1．正切函数y＝tanx的图象与x＝kπ＋，k∈Z有公共点吗？直线y＝a与y＝tanx的图象相邻两交点之间的距离是多少？[答案]　没有．正切曲线是由被互相平行的直线x＝kπ＋(k∈Z)隔开的无穷多支曲线组成的由图象结合正切函数的周期性可知，两交点之间的距离为π2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正切函数的定义域和值域都是R.(　　)(2)正切函数在整个定义域上是增函数．(　　)(3)正切函数在定义域内无最大值和最小值．(　　)(4)正切函数没有对称轴，

3、但有对称中心．(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√题型一正切函数的定义域【典例1】　求下列函数的定义域：(1)y＝tan；(2)y＝.[思路导引]　(1)将x＋看成一个整体．由正切函数y＝tanx的定义域为求解；(2)tanx≠0且tanx有意义．[解]　(1)由x＋≠kπ＋(k∈Z)得，x≠kπ＋，k∈Z，所以函数y＝tan的定义域为.(2)由tanx≠0且tanx有意义得x≠kπ且x≠kπ＋，k∈Z，即x≠，k∈Z，所以函数y＝的定义域为.　求正切函数定义域的方法(1)求与正切函数有关的函数的定义

4、域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tanx有意义即x≠＋kπ，k∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解．(2)求正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω>0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”．令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x.[针对训练]1．函数f(x)＝的定义域是____________．[解析]　若使函数f(x)有意义，需使tanx－1≠0，即tanx≠1.∵tanx有意义，∴x≠kπ＋且x≠kπ＋，k∈Z，∴f(x)＝的定义域为.[答案]　{x

5、x≠kπ＋且

6、x≠kπ＋，k∈Z}题型二与正切函数有关的周期性、奇偶性问题【典例2】　(1)求f(x)＝tan的周期；(2)判断y＝sinx＋tanx的奇偶性．[思路导引]　解(1)利用T＝，解(2)时先看定义域是否关于原点对称，若关于原点对称，再看f(－x)与f(x)及－f(x)的关系来判断奇偶性．[解]　(1)由正切函数的最小正周期，可得T＝.∴f(x)＝tan的周期是.(2)定义域为，关于原点对称，∵f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sinx－tanx＝－f(x)，∴它是奇函数．正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)的周

7、期性、奇偶性(1)一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝，常常利用此公式来求周期．(2)若函数y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ或φ＝kπ＋(k∈Z)，否则为非奇非偶函数．(3)正切函数是奇函数，所以原点是y＝tanx的对称中心，同样，结合y＝tanx的图象，可以得到k∈Z都是正切函数的对称中心．[针对训练]2．关于x的函数f(x)＝tan(x＋φ)有以下几种说法：①对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数；②f(x)的图象关于对称；③f(x)的图象关于(π－φ，0)对称；④f(x)是以π为最小正周

8、期的周期函数．其中不正确的说法的序号是________．[解析]　①若取φ＝kπ(k∈Z)，则f(x)＝tanx，此时，f(x)为奇函数，所以①错误；观察正切函数y＝tanx的图象，可知y＝tanx关于(k∈Z)对称，令x＋φ＝得x＝－φ，分别令k＝1,2知②、③正确，④显然正确．[答案]　①题型三正切函数的单调性及应用【典例3】　(1)求函数y＝tan的单调区间；(2)比较tan与tan的大小；(3)解不等式tan≤.[思路导引]　(1)将x－看成一个整体；(2)比较大小时应将角化到同一个单调区间内；(3)将x＋看成一

9、个整体，结合y＝tanx的图象求解．[解]　(1)由kπ－－tan，即