（浙江专用）高考数学第四章三角函数、解三角形4第4讲简单的三角恒等变换教学案.docx

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1、第4讲　简单的三角恒等变换　　　　　　三角函数式的化简化简：(1)(0<θ<π)；(2)·.【解】　(1)原式＝＝＝.因为0<θ<π，所以0<<，所以cos>0.所以原式＝－cosθ.(2)原式＝·＝·＝·＝.三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，这是最重要的一个环节，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要

2、通分”等．　1．(2020·义乌模拟)化简：＝________．解析：＝＝＝4sinα.答案：4sinα2．化简：.解：原式＝＝＝＝cos2x.　　　　　　三角恒等式的证明求证：(1)cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos2Acos2B；(2)cos2θ(1－tan2θ)＝cos2θ.【证明】　(1)因为左边＝－＝＝(cos2Acos2B－sin2Asin2B＋cos2Acos2B＋sin2Asin2B)＝cos2Acos2B＝右边，所以等式成立．(2)法一：因为左边＝cos2θ＝cos2θ－sin2

3、θ＝cos2θ＝右边，所以等式成立．法二：因为右边＝cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ＝cos2θ(1－tan2θ)＝左边，所以等式成立．证明三角恒等式实际上就是有目的地化繁为简，最后左右归一．常用方法：(1)从左边推到右边；(2)从右边推到左边；(3)找中间量，常用技巧：切化弦，降次消元，拆项拆角，“1”的代换以及公式变形等．指导思想是统一三角函数名称，统一为相同的角．　　设α，β是锐角，sinα＝，cos(α＋β)＝－，求证：β＝.　证明：由0<α<，0<β<，知0<α＋β<π，又cos(α＋

4、β)＝－，故sin(α＋β)＝＝＝.由sinα＝，可知cosα＝＝＝，所以sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝×－×＝，所以β＝.　　　　　　三角函数式的求值(高频考点)三角函数式的求值在高考中主要以选择题形式出现，有时以解答题某一步出现，试题难度较小．主要命题角度有：(1)给角求值；(2)给值求值；(3)给值求角．角度一　给角求值的值是________．【解析】　依题意得＝＝＝＝2.【答案】　2角度二　给值求值(2020·金华模拟)已知θ∈，且sinθ－c

5、osθ＝－，则等于(　　)A.　　　　　　　　　　B.C.D.【解析】　由sinθ－cosθ＝－得sin＝，因为θ∈，所以－θ∈，所以cos＝，所以＝＝＝＝2cos＝.【答案】　D角度三　给值求角已知tanα，tanβ是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且α，β∈，则α＋β＝(　　)A.　　　　　　　B.或－C．－或D．－【解析】　由题意得tanα＋tanβ＝－3<0，tanαtanβ＝4>0，所以tan(α＋β)＝＝，且tanα<0，tanβ<0，又由α，β∈得α，β∈，所以α＋β∈(－π，0)，所以α＋β＝－

6、.【答案】　D三角函数求值的3种情况　　的值为(　　)A．－　　　　　　　　　B.C.D．－解析：选B.＝＝＝＝.　　　　　　三角恒等变换的简单应用如图，现要在一块半径为1m，圆心角为的扇形白铁片AOB上剪出一个平行四边形MNPQ，使点P在弧AB上，点Q在OA上，点M，N在OB上，设∠BOP＝θ，平行四边形MNPQ的面积为S.(1)求S关于θ的函数关系式；(2)求S的最大值及相应的θ角．【解】　(1)分别过P，Q作PD⊥OB于点D，QE⊥OB于点E，则四边形QEDP为矩形．由扇形半径为1m，得PD＝sinθ，

7、OD＝cosθ.在Rt△OEQ中，OE＝QE＝PD，MN＝QP＝DE＝OD－OE＝cosθ－sinθ，S＝MN·PD＝·sinθ＝sinθcosθ－sin2θ，θ∈.(2)S＝sin2θ－(1－cos2θ)＝sin2θ＋cos2θ－＝sin－，因为θ∈，所以2θ＋∈，sin∈.当θ＝时，Smax＝(m2)．利用三角恒等变换解决实际问题的思路(1)结合具体图形引进角为参数，利用三角函数的有关公式进行化简，解决最优化问题．　(2)解决三角函数应用问题和解决一般应用性问题一样，先建模，再讨论变量的范围，最后作出结论

8、并回答问题．[提醒]　注意恰当选择自变量，并利用解直角三角形等知识表示有关线段．1．(2020·杭州市高三模拟)函数f(x)＝3sincos＋4cos2(x∈R)的最大值等于(　　)A．5B.C.D．2解析：选B.因为f(x)＝3sincos＋4cos2＝sinx＋2cosx＋2＝＋2＝sin(x＋φ)＋2，其中sinφ＝，cosφ＝，所以函数f(x)的最大值为.2.如图，有一块以点O为圆心的半圆形