2020版高考数学第四章三角函数、解三角形第4讲简单的三角恒等变换分层演练理新人教A版

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1、第4讲简单的三角恒等变换1．已知sin2α＝，则cos2＝(　　)A.　B．－C.D．－解析：选C.cos2＝＝＝＝，故选C.2．已知f(x)＝2tanx－，则f的值为(　　)A．4B.C．4D．8解析：选D.因为f(x)＝2＝2×＝2×＝，所以f＝＝8.3．(2019·湖北新联考模拟)＝(　　)A.B.C.D．1解析：选A.＝＝＝＝.故选A.4．已知α，β均为锐角，(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2，则α＋β为(　　)A.B.C.D.解析：选B.由(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2得tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ，

2、所以tan(α＋β)＝＝＝1.因为0<α，β<，所以0<α＋β<π，所以α＋β＝.5．sin220°＋cos280°＋sin20°cos80°的值为(　　)A.B.C.D．1解析：选A.sin220°＋cos280°＋sin20°·cos80°＝(1－cos40°)＋(1＋cos160°)＋sin20°cos(60°＋20°)＝1－cos40°＋(cos120°·cos40°－sin120°·sin40°)＋sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°)＝1－cos40°－cos40°－sin40°＋sin40

3、°－sin220°＝1－cos40°－(1－cos40°)＝.6.－＝________．解析：原式＝＝＝tan30°＝.答案：7．已知cos2θ＝，则sin4θ＋cos4θ＝________．解析：法一：因为cos2θ＝，所以2cos2θ－1＝，1－2sin2θ＝，因为cos2θ＝，sin2θ＝，所以sin4θ＋cos4θ＝.法二：sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－sin22θ＝1－(1－cos22θ)＝1－×＝.答案：8．已知＝，tan(α－β)＝，则tanβ＝________．解析：因为＝，所以＝，＝1，所

4、以tanα＝1，又因为tan(α－β)＝，所以tanβ＝tan[α－(α－β)]＝＝＝.答案：9．化简：.解：＝＝＝＝＝＝＝tanα.10．已知tanα＝－，cosβ＝，α∈，β∈，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．解：由cosβ＝，β∈，得sinβ＝，tanβ＝2.所以tan(α＋β)＝＝＝1.因为α∈，β∈，所以<α＋β<，所以α＋β＝.1．若sin2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是(　　)A.B.C.或D.或解析：选A.因为sin2α＝，α∈，所以cos2α＝－且α∈，又因为sin(β－α)＝，

5、β∈，　所以cos(β－α)＝－，因此cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]＝cos(β－α)·cos2α－sin(β－α)sin2α＝－×－×＝，又α＋β∈，所以α＋β＝，故选A.2．(2019·山西省晋中名校高三联合测试)对于集合{a1，a2，…，an}和常数a0，定义：ω＝为集合{a1，a2，…，an}相对a0的“正弦方差”，则集合相对a0的“正弦方差”为(　　)A.B.C.D．与a0有关的一个值解析：选A.集合相对a0的“正弦方差”ω＝＝＝＝＝＝.3．(2019·云南省第一次统一检测)计算＝________(用数字作

6、答)．解析：＝＝＝＝.答案：4．(2019·济南模拟)设α∈，β∈，且5sinα＋5cosα＝8，sinβ＋cosβ＝2，则cos(α＋β)的值为________．　解析：由5sinα＋5cosα＝8，得sin＝，因为α∈，α＋∈，所以cos＝.又β∈，β＋∈，由sinβ＋cosβ＝2，得sin＝.所以cos＝－.所以cos(α＋β)＝sin＝sin＝sincos＋cossin＝－.答案：－5．已知函数f(x)＝Acos(＋)，x∈R，且f＝.(1)求A的值；(2)设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α＋β)的值．解：(1)因为f

7、＝Acos＝Acos＝A＝，所以A＝2.(2)由f＝2cos(α＋＋)＝2cos＝－2sinα＝－，得sinα＝，又α∈，所以cosα＝.由f＝2cos(β－＋)＝2cosβ＝，得cosβ＝，又β∈，所以sinβ＝，所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝－.6．广告公司为某游乐场设计某项设施的宣传画，根据该设施的外观，设计成的平面图由半径为2m的扇形AOB和三角区域BCO构成，其中C，O，A在一条直线上，∠ACB＝，记该设施平面图的面积为S(x)m2，∠AOB＝xrad，其中

8、关于x的函数关系式．(2)如何设计∠AOB，使得S(x)有最大值？解：(1)因为扇形AOB的半径为2m，∠AOB＝xrad，所以S扇形＝x·22＝2x，过点B作边AC的垂线，垂足为点D，如图所示：则∠BOD＝π－x，所以BD＝2sin(π－x)＝2