2020版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形第5讲简单的三角恒等变换教案理新人教A版

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1、第5讲　简单的三角恒等变换基础知识整合1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式2．二倍角的正弦、余弦、正切公式1．降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.2．升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.3．公式变形：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanα·tanβ)．4．辅助角公式：asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，其中sinφ＝，cosφ＝.1．(2018·全国卷Ⅲ)若sinα＝，则cos2α＝(　　)A.B.C．－D．－答案　B解析　cos2α＝1－2sin2α＝1－＝.故选B.2．(2019·吉林模拟)若sin(π－α)

2、＝，且≤α≤π，则sin2α的值为(　　)A．－B．－C.D.答案　A解析　∵sin(π－α)＝，即sinα＝，又≤α≤π，∴cosα＝－＝－，∴sin2α＝2sinαcosα＝－.3．(2016·全国卷Ⅲ)若tanθ＝－，则cos2θ＝(　　)A．－B．－C.D.答案　D解析　解法一：cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝＝＝.故选D.解法二：由tanθ＝－，可得sinθ＝±，因而cos2θ＝1－2sin2θ＝.4．(2019·南宁联考)若角α满足sinα＋2cosα＝0，则tan2α＝(　　)A．－B.C．－D.答案　D解析　由题意知，tanα＝－2，tan2α＝

3、＝.故选D.5．若函数f(x)＝(1＋tanx)cosx,0≤x<，则f(x)的最大值为(　　)A．1B．2C.＋1D.＋2答案　B解析　f(x)＝cosx＝cosx＋sinx＝2sin，∴当x＝时，f(x)取得最大值2.6．(2017·全国卷Ⅰ)已知α∈，tanα＝2，则cos＝________.答案　解析　cos＝cosαcos＋sinαsin＝(cosα＋sinα)．又由α∈，tanα＝2，知sinα＝，cosα＝，∴cos＝×＝.核心考向突破考向一　三角函数的化简例1　(1)(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则(　　)A．

4、f(x)的最小正周期为π，最大值为3B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4答案　B解析　根据题意，有f(x)＝cos2x＋，所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝π，且最大值为f(x)max＝＋＝4.故选B.(2)(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝的最小正周期为(　　)A.B.C．πD．2π答案　C解析　由已知得f(x)＝＝＝sinxcosx＝sin2x，f(x)的最小正周期T＝＝π.故选C.触类旁通三角函数式化简的常用方法(1)异角化同角：善于发现角之间的差别与联系，合理对角拆分

5、，恰当选择三角公式，能求值的求出值，减少角的个数．(2)异名化同名：统一三角函数名称，利用诱导公式切弦互化、二倍角公式等实现名称的统一.(3)异次化同次：统一三角函数的次数，一般利用降幂公式化高次为低次.即时训练　1.(2017·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝sin＋cos的最大值为(　　)A.B．1C.D.答案　A解析　∵f(x)＝sin＋cos＝sin＋cos＝sin＋sin＝sin＋sin＝sin，∴当x＝＋2kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值.故选A.2．函数y＝sinxcosx＋cos2x－的最小正周期是(　　)A．2πB．πC.D.答案　B解析　∵y＝sin

6、2x＋·－＝sin2x＋cos2x＝sin，∴此函数的最小正周期是T＝＝π.考向二　三角函数的求值角度　　给值求值例2　(1)(2019·汕头模拟)已知tan＝3，则cosα＝(　　)A.B．－C.D．－答案　B解析　cosα＝cos2－sin2＝＝＝＝－.故选B.(2)(2018·全国卷Ⅱ)已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝________.答案　－解析　解法一：因为sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，所以(1－sinα)2＋(－cosα)2＝1，所以sinα＝，cosβ＝，因此sin(α＋β)＝sinαcosβ＋

7、cosαsinβ＝×－cos2α＝－1＋sin2α＝－1＋＝－.解法二：由(sinα＋cosβ)2＋(cosα＋sinβ)2＝1，得2＋2sin(α＋β)＝1，所以sin(α＋β)＝－.(3)(2019·重庆检测)已知α是第四象限角，且sinα＋cosα＝，则tan＝________.答案　－解析　因为sinα＋cosα＝，α是第四象限角，所以sinα＝－，cosα＝，则tan＝＝＝＝－.触类旁通给值求值是指已知某个角的三角函数值，求与该角相关的其他三角函数值的问题，解题的基本方法是通过角的三角函数的变换把求解目标用已知条件表达出来.即时训练　3.(2018·江