2020版高考数学复习三角函数、解三角形4.5简单的三角恒等变换(第2课时)简单的三角恒等变换教案理新人教A版

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1、第2课时 简单的三角恒等变换题型一 三角函数式的化简1.化简:=________.答案 2cosα解析 原式==2cosα.2.化简:=________.答案 cos2x解析 原式=====cos2x.3.化简:-2cos(α+β).解 原式======.思维升华(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则一看角,二看名,三看式子结构与特征.(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的共同点.题型二 三角函数的求值命题点1 给角求值与给值求值例1(1)(2018·阜新质检)[2sin50°+sin10°(1+tan10°)]·

2、=________.答案 解析 原式=·sin80°=·cos10°=2[sin50°·cos10°+sin10°·cos(60°-10°)]=2sin(50°+10°)=2×=.(2)(2018·赤峰模拟)已知cos=,θ∈,则sin=________.答案 解析 由题意可得cos2==,cos=-sin2θ=-,即sin2θ=.因为cos=>0,θ∈,所以0<θ<,2θ∈,根据同角三角函数基本关系式,可得cos2θ=,由两角差的正弦公式,可得sin=sin2θcos-cos2θsin=×-×=.命题点2 给值求角例2(1)设α,β为钝角,且sinα=,cosβ=-,则α+β的值为(

3、  )A.B.C.D.或答案 C解析 ∵α,β为钝角,sinα=,cosβ=-,∴cosα=-,sinβ=,∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=>0.又α+β∈(π,2π),∴α+β∈,∴α+β=.(2)已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=,tanβ=-,则2α-β的值为________.答案 -解析 ∵tanα=tan[(α-β)+β]===>0,∴0<α<.又∵tan2α===>0,∴0<2α<,∴tan(2α-β)===1.∵tanβ=-<0,∴<β<π,-π<2α-β<0,∴2α-β=-.引申探究本例(1)中,若α,β为锐角,sinα=,cosβ=,

4、则α+β=________.答案 解析 ∵α,β为锐角,∴cosα=,sinβ=,∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=×-×=.又0<α+β<π,∴α+β=.思维升华(1)给角求值与给值求值问题的关键在“变角”,通过角之间的联系寻找转化方法.(2)给值求角问题:先求角的某一三角函数值,再求角的范围确定角.跟踪训练1 (1)已知α∈,且2sin2α-sinα·cosα-3cos2α=0,则=________.答案 解析 ∵α∈,且2sin2α-sinα·cosα-3cos2α=0,则(2sinα-3cosα)·(sinα+cosα)=0,又∵α∈,sinα+cosα>

5、0,∴2sinα=3cosα,又sin2α+cos2α=1,∴cosα=,sinα=,∴===.(2)已知sinα=,sin(α-β)=-,α,β均为锐角,则β=________.答案 解析 因为α,β均为锐角,所以-<α-β<.又sin(α-β)=-,所以cos(α-β)=.又sinα=,所以cosα=,所以sinβ=sin[α-(α-β)]=sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β)=×-×=.所以β=.题型三 三角恒等变换的应用例3已知函数f(x)=sin2x-cos2x-2sinxcosx(x∈R).(1)求f的值;(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.解 (1)

6、由sin=,cos=-,得f=2-2-2××=2.(2)由cos2x=cos2x-sin2x与sin2x=2sinxcosx,得f(x)=-cos2x-sin2x=-2sin.所以f(x)的最小正周期是π.由正弦函数的性质,得+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).思维升华三角恒等变换的应用策略(1)进行三角恒等变换要抓住:变角、变函数名称、变结构,尤其是角之间的关系;注意公式的逆用和变形使用.(2)把形如y=asinx+bcosx化为y=sin(x+φ),可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性.跟踪训练2已知

7、角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(-3,).(1)求sin2α-tanα的值;(2)若函数f(x)=cos(x-α)cosα-sin(x-α)sinα,求函数g(x)=f-2f2(x)在区间上的值域.解 (1)∵角α的终边经过点P(-3,),∴sinα=,cosα=-,tanα=-.∴sin2α-tanα=2sinαcosα-tanα=-+=-.(2)∵f(x)=cos(x-α)cosα-sin(x-α)sinα=c

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